2012　大阪教育大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$を自然数とするとき，次の不等式を示せ．

(1)　$2^{a+b}\geqq 2^a+2^b$

(2)　$2^{a+b+c}\geqq 2^a+2^b+2^c+2$

(3)　$2^{a+b+c}\geqq 2^{a+b}+2^{b+c}+2^{c+a}-4$

【２】　$m$を$9$以下の自然数とする．箱の中に$m$枚のカードが入っており，それぞれのカードに$1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}m$の数字がひとつずつ書かれている．ただし，異なるカードには異なる数字が書かれているものとする．この箱からカードを$1$枚引き，そのカードに書かれた数字を記録してから元に戻す．この操作を$2$回繰り返す．

　$1$回目に引いたカードに書かれた数字を$a\text{，}2$回目に引いたカードに書かれた数字を$b$とし，また，$a$を十の位，$b$を一の位とする$2$桁の数を$n$とする．

　次の問に答えよ．

(1)　$a+b$が$3$で割り切れる確率と$n$が$3$で割り切れる確率は等しいことを示せ．

(2)　$a+2b$を$3$で割った余りと$n$を$3$で割った余りが等しくなる確率が${\displaystyle \frac{1}{3}}$となる$m$をすべて求めよ．

【３】　$n$は自然数とする．次の問に答えよ．

(1)　次の不等式を示せ．

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{k^2}}<2$

(2)　$x>0$のとき，次の不等式を示せ．

$x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}<\sin x<x$

(3)　次の極限値を求めよ．

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}({\displaystyle \sum _{k=1}^n}k\sin {\displaystyle \frac{1}{k}})$

【４】　$A$を実数を成分とする行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

とし，任意の実数$x$に対して，行列$(xE-A)$を考える．ただし，$E$は$2\times 2$の単位行列とする．相異なる実数$\alpha \text{，}\beta$に対して，行列$(\alpha E-A)\text{，}(\beta E-A)$は逆行列を持たないとき，次の問に答えよ．

(1)　$\alpha +\beta =a+d\text{，}\alpha \beta =ad-bc$であることを示せ．また，$x\ne \alpha \text{，}x\ne \beta$のとき，$(xE-A)$は逆行列を持つことを示せ．

(2)　$x\ne \alpha \text{，}x\ne \beta$のとき，$(xE-A)$の逆行列の$(i,j)$成分を

$a_{ij}(x)\text{，}\text{（}i=1\text{，}2;j=1\text{，}2\text{）}$

と表し，

$b_{ij}=\underset{x\to \alpha }{\lim }{x}^2(x-\alpha )a_{ij}+\underset{x\to \beta }{\lim }{x}^2(x-\beta )a_{ij}(x)$

とする．このとき，行列$\left(\begin{array}{cc}{b}_{11}& b_{12}\\ b_{21}& b_{22}\end{array}\right)$を$A$を用いて表せ．