2012　大阪教育大学　後期MathJax

【１】　$1$辺の長さが$1$である正三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に点${\mathrm{A}}_1$をとる．${\mathrm{A}}_1$から辺$\mathrm{AB}$に垂線${\mathrm{A}}_1{\mathrm{C}}_1$を引き，点${\mathrm{C}}_1$から辺$\mathrm{AC}$に垂線${\mathrm{C}}_1{\mathrm{B}}_1$を引き，さらに点${\mathrm{B}}_1$から辺$\mathrm{BC}$に垂線${\mathrm{B}}_1{\mathrm{A}}_2$を引く．これを繰り返し，辺$\mathrm{BC}$上に点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n\text{，}\cdots \text{，}$辺$\mathrm{AB}$上に点${\mathrm{C}}_1\text{，}{\mathrm{C}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{C}}_n\text{，}\cdots \text{，}$辺$\mathrm{AC}$上に点${\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{B}}_n\text{，}\cdots$をとる．このとき，$\mathrm{B}{\mathrm{A}}_n=x_n$とする．

　次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{B}{\mathrm{C}}_n\text{，}\mathrm{A}{\mathrm{C}}_n$を$x_n$を用いて表せ．

(2)　$x_n\text{，}{x}_{n+1}$が満たす漸化式を求めよ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　実数$a\text{，}b$が$a\geqq 0\text{，}b\geqq 0$を満たすとき，

$a+b\geqq 2\sqrt{ab}$

が成り立つことを示せ．

(2)　実数$x\text{，}y$が$x>y>0$と

$x^6{y}^2-x^5{y}^3+x^5{y}^5-x^4{y}^6\geqq 4$

を満たすとき，

$x^3+y^2\geqq 3$

が成り立つことを示せ．

【３】　座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．実数を成分とする行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

で表される座標平面上の移動を$f$で表す．また，行列$R_{\theta }\text{，}T$を

$R_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\text{，}T=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

とする．ただし，$-\pi <\theta \leqq \pi$とする．次の問に答えよ．

(1)　積$R_{\theta }T\text{，}T{R}_{\theta }$を計算せよ．

(2)　すべての点$\mathrm{P}(x,y)$に対して，

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{O}f(\mathrm{P})}\right|$

が成り立つとき，行列$A$は，ある$\theta$を用いて，

$A=R_{\theta }$または$A=R_{\theta }T$

と表されることを示せ．ただし，$\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$はベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の長さを表す．

(3)　$A=R_{\theta }T$で表される移動$f$について，原点$\mathrm{O}$を通る直線$l$上のすべての点$\mathrm{P}$に対して，$f(\mathrm{P})$が直線$l$上にあるとき，直線$l$の方程式は，$\theta$を用いて，

$(\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}})x+(\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}})y=0$または$(\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}})x-(\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}})y=0$

と表されることを示せ．

【４】

$I_k={\displaystyle {\int }_{k\pi }^{(k+1)\pi }}({\sin }^{2}t)(\log t)dt\text{，}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

とする．次の問に答えよ．

(1)　不等式

${\displaystyle \frac{\pi }{2}}\log (k\pi )<I_k<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\log (k+1)\pi$

を示せ．

(2)　不等式

を示せ．

(3)　極限値

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n\log n}}{\displaystyle {\int }_{\pi }^{(n+1)\pi }}({\sin }^{2}t)(\log t)dt$

を求めよ．