2012　神戸大学　前期MathJax

(1)　$l$は$y$軸と平行でないことを示せ．

(2)　$l$が線分$\mathrm{AB}$と交わるとき，$l$の傾きを求めよ．

(3)　$l$が線分$\mathrm{AB}$と交わらないとき，$l$と原点との距離を求めよ．

$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-3a$

$y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+2ax-a^3-a^2$

が異なる$2$点で交わるとし，$2$つの放物線によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$S(a)$を$a$を用いて表せ．

(3)　$S(a)$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

(1)　正の実数$x\text{，}y$に対して

${\displaystyle \frac{y}{x}}+{\displaystyle \frac{x}{y}}\geqq 2$

が成り立つことを示し，等号が成立するための条件を求めよ．

(2)　$n$を自然数とする．$n$個の正の実数$a_1\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$に対して

$(a_1+\cdots +a_n)({\displaystyle \frac{1}{a_1}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{a_n}})\geqq n^2$

が成り立つことを示し，等号が成立するための条件を求めよ．

(1)　$x$の値を求めよ．

(2)　$n$を自然数とする．

$A^n=a_{n}P+b_{n}E$

をみたす$a_n\text{，}{b}_n$を$n$を用いて表せ．

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{dt}{1+t^2}}$

と定め，$g(x)=f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$とおく．以下の問に答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}f(x)$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{d}{dx}}g(x)$を求めよ．

(3)　$f(x)+f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$を求めよ．

(1)　$e<3$であることを用いて，不等式$\log 2>{\displaystyle \frac{3}{5}}$が成り立つことを示せ．

(2)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{1+\cos x}}-x$の導関数を求めよ．

(3)　積分

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\displaystyle \frac{\sin x-\cos x}{1+\cos x}}dx$

の値を求めよ．

(4)　(3)で求めた値が正であるか負であるかを判定せよ．

$\{\begin{array}{l}x=1-t^2\\ y=t-t^3\end{array}$

と定める．以下の問に答えよ．

(1)　曲線$C$の概形を描け．

(2)　曲線$C$と$x$軸で囲まれた部分が，$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．