2012 奈良女子大学 前期

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2012 奈良女子大学 前期

理学部

易□ 並□ 難□

【1】  x を正の実数とする.三角形 ABC において, AB=x BC= x+1 CA =x+2 とする.次の問いに答えよ.

(1)  x のとり得る値の範囲を求めよ.

(2)  B =θ とおくとき, cosθ x を用いて表せ.

(3) 三角形 ABC が鈍角三角形となる x の値の範囲を求めよ.

2012 奈良女子大学 前期

理学部

易□ 並□ 難□

【2】  θ 0 θ 2π をみたす実数とする. 2 次関数 f (x )= x2- 2( sinθ )x +sin2 θ について,次の問いに答えよ.

(1)  f( x) のグラフの頂点の座標を θ を用いて表せ.

(2)  f( x) の区間 - 1 2 x 12 における最大値 M ( θ) θ を用いて表せ.

(3) (2)で求た M ( θ) に対して, 02 πM (θ )d θ の値を求めよ.

2012 奈良女子大学 前期

理学部

易□ 並□ 難□

【3】  a b は異なる整数で,ともに 0 以上 9 以下とする.有理数 x が次のように循環小数で表されているとする.

x=0. ababa bab

次の問いに答えよ.

(1)  99x は自然数であることを示せ.

(2)  33x が自然数となるような x 1 つ求めよ.

(3)  11x が自然数となるときの a +b の値を求めよ.

2012 奈良女子大学 前期

生活環境学部

易□ 並□ 難□

【4】 三角形 ABC は各辺の長さが 1 の正三角形であるとする.辺 AB 上に点 D BC 上に点 E CA 上に点 F AD =BE=CF =x となるようにとる.ただし 0 <x< 1 とする.次の問いに答えよ.

(1) 三角形 ABC の内接円の半径を求めよ.

(2) 三角形 DEF の外接円の半径 R x を用いて表せ.

(3) (2)で求た R を最小にする x の値を求めよ.

2012 奈良女子大学 前期

生活環境学部

易□ 並□ 難□

【5】  1 つのさいころを 4 回投げ,出た目を 1 回目から順に a b c d とする.この a b c d を用いて x 2 次式

f( x)= x2- (a+ d) x+( ad- bc )

を作る.次の問いに答えよ.

(1) どのようなさいころの目が出たとしても, 2 次方程式 f (x )=0 は異なる 2 つの実数解を持つことを示せ.

(2) どのようなさいころの目が出たとしても, 2 次方程式 f (x )=0 は少なくとも 1 つの正の実数解を持つことを示せ.

(3)  2 次方程式 f (x )=0 2 つの実数解がいずれも 0 以上である確率は 12 以上であることを示せ.

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生活環境学部

易□ 並□ 難□

【6】  a を実数とする.関数 y =|x -1| +|x -2 | と関数 y =x+a のグラフをそれぞれ G1 G2 とおく. G1 G 2 が交点を持つとする.次の問いに答えよ.

(1)  G1 をかけ.

(2)  G1 G 2 の囲む領域が三角形であるとする.このときの a の値の範囲を求め,三角形の面積 S 1 a を用いて表せ.

(3)  G1 G 2 の囲む領域が四角形であるとする.このときの a の値の範囲を求め,四角形の面積 S 2 a を用いて表せ.