Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2012年度一覧へ
大学別一覧へ
奈良女子大学一覧へ
2012-10631-0101
2012 奈良女子大学 前期
理学部
易□ 並□ 難□
【1】 x を正の実数とする.三角形 ABC において, AB=x , BC= x+1 ,CA =x+2 とする.次の問いに答えよ.
(1) x のとり得る値の範囲を求めよ.
(2) ∠B =θ とおくとき, cos⁡θ を x を用いて表せ.
(3) 三角形 ABC が鈍角三角形となる x の値の範囲を求めよ.
2012-10631-0102
【2】 θ を 0 ≦θ≦ 2⁢π をみたす実数とする. 2 次関数 f ⁡(x )= x2- 2⁢( sin⁡θ )⁢x +sin2 ⁡θ について,次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) のグラフの頂点の座標を θ を用いて表せ.
(2) f⁡( x) の区間 - 1 2≦ x≦ 12 における最大値 M ⁡( θ) を θ を用いて表せ.
(3) (2)で求た M ⁡( θ) に対して, ∫ 02⁢ πM ⁡(θ )⁢d θ の値を求めよ.
2012-10631-0103
【3】 a と b は異なる整数で,ともに 0 以上 9 以下とする.有理数 x が次のように循環小数で表されているとする.
x=0. ababa bab⋯
次の問いに答えよ.
(1) 99⁢x は自然数であることを示せ.
(2) 33⁢x が自然数となるような x を 1 つ求めよ.
(3) 11⁢x が自然数となるときの a +b の値を求めよ.
2012-10631-0104
生活環境学部
【4】 三角形 ABC は各辺の長さが 1 の正三角形であるとする.辺 AB 上に点 D , 辺 BC 上に点 E , 辺 CA 上に点 F を AD =BE=CF =x となるようにとる.ただし 0 <x< 1 とする.次の問いに答えよ.
(1) 三角形 ABC の内接円の半径を求めよ.
(2) 三角形 DEF の外接円の半径 R を x を用いて表せ.
(3) (2)で求た R を最小にする x の値を求めよ.
2012-10631-0105
【5】 1 つのさいころを 4 回投げ,出た目を 1 回目から順に a , b ,c , d とする.この a , b ,c , d を用いて x の 2 次式
f⁡( x)= x2- (a+ d)⁢ x+( a⁢d- b⁢c )
を作る.次の問いに答えよ.
(1) どのようなさいころの目が出たとしても, 2 次方程式 f ⁡(x )=0 は異なる 2 つの実数解を持つことを示せ.
(2) どのようなさいころの目が出たとしても, 2 次方程式 f ⁡(x )=0 は少なくとも 1 つの正の実数解を持つことを示せ.
(3) 2 次方程式 f ⁡(x )=0 の 2 つの実数解がいずれも 0 以上である確率は 12 以上であることを示せ.
2012-10631-0106
【6】 a を実数とする.関数 y =|x -1| +|x -2 | と関数 y =x+a のグラフをそれぞれ G1 ,G2 とおく. G1 と G 2 が交点を持つとする.次の問いに答えよ.
(1) G1 をかけ.
(2) G1 と G 2 の囲む領域が三角形であるとする.このときの a の値の範囲を求め,三角形の面積 S 1 を a を用いて表せ.
(3) G1 と G 2 の囲む領域が四角形であるとする.このときの a の値の範囲を求め,四角形の面積 S 2 を a を用いて表せ.