2012　奈良女子大学　後期MathJax

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A^3$を求めよ．

(2)　$E+A+A^2+A^3+A^4+A^5$を求めよ．

(3)　$E+A+A^2+\cdots +A^{2012}$を求めよ．

$f(x)=4^x+4^{-x}-2a(2^x+2^{-x})$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$t=2^x+2^{-x}$とおく．$t\geqq 2$であることを示せ．また，$4^x+4^{-x}$を$t$で表せ．

(2)　$f(x)$の最小値と$f(x)$が最小となるときの$x$を$a$で表せ．

(1)　$5$人の生徒を，$\mathrm{A}$組$2$人，$\mathrm{B}$組$2$人，$\mathrm{C}$組$1$人の$3$つの組に分ける方法は何通りあるか．

(2)　$5$人の生徒を，$2$人，$2$人，$1$人の$3$つの組に分ける方法は何通りあるか．

(3)　$5$人の生徒を$3$つの組に分ける方法は何通りあるか．ただし，どの組にも少なくとも$1$人の生徒が入るものとする．

(4)　$n$と$k$は$n\geqq k$をみたす自然数であるとする．$n$人の生徒を$k$個の組に分ける方法の総数を$S(n,k)$とおく．ただし，どの組にも少なくとも$1$人の生徒が入るものとする．$k\geqq 2$のとき，次の等式が成立することを示せ．

$S(n+1,k)=S(n,k-1)+kS(n,k)$

(1)　点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$で表せ．

(2)　$\tan \alpha$と$\tan \beta$を$\theta$で表せ．

(3)　$\theta$が変化するとき，$\beta$が最大となる$\theta$の値を求めよ．