2012　和歌山大学　前期MathJax

(1)　$\left|\overrightarrow{a}\right|=k$とするとき，$\left|\overrightarrow{b}\right|$と$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ$k$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$であるとき，$\left|\overrightarrow{a}\right|$と$\left|\overrightarrow{b}\right|$の値をそれぞれ求めよ．

　線分${\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$を点${\mathrm{P}}_n$を中心として時計まわりに$60\mathrm{°}$回転させて得られる線分の上に，${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{P}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n$となるように点${\mathrm{P}}_{n+1}$を定める．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{P}}_3$の座標を求めよ．

(2)　自然数$k$に対して，${\mathrm{P}}_{3k}\text{，}{\mathrm{P}}_{3n+1}\text{，}{\mathrm{P}}_{3n+2}$の座標をそれぞれ求めよ．

$C_1\text{：}y=x^2$

$C_2\text{：}y=4x^2+12x$

に接している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　放物線$C_1\text{，}{C}_2$および直線$l$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$S={\displaystyle {\int }_0^1}x(2|e^x-a|+a)dx$

とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S$を求めよ．

(2)　$S$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$2.7<e<2.8$であることを用いてもよい．

(1)　$AB$および$ABA$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，${(AB)}^{n}A$を推測し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．

(3)　自然数$n$に対して，${(BA)}^{n+1}$を求めよ．