2012　鳥取大学　前期MathJax

2012-10661-0101

2012　鳥取大学　前期

地域，工，医（生命科学科），農学部

医（医学科）学部【１】の類題

易□　並□　難□

【１】　袋の中に $1$ から $10$ までの自然数が $1$ つずつ書かれたボールが $10$ 個入っている．次の問いに答えよ．

(1)　袋から $3$ 個のボールを同時に取り出すとき， $3$ 個のボールに書かれた数の和が $8$ になる確率を求めよ．

(2)　袋から $1$ 個のボールを取り出して，書かれている数字を記録し袋に戻す．これを $3$ 回繰り返すとき，記録された $3$ つの数字のうち，ちょうど $2$ つが同じ数字になる確率を求めよ．　

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2012　鳥取大学　前期

地域学部

医（医学科）学部【２】の類題

易□　並□　難□

【２】　 $a ， b ， c$ を正の整数とするとき，等式

$(1 + \frac{1}{a}) (1 + \frac{1}{b}) (1 + \frac{1}{c}) = 2$ (★)

について次の問いに答えよ．

(1)　 $c = 1$ のとき，等式(★)を満たす正の整数 $a ， b$ は存在しないことを示せ．

(2)　 $c = 2$ のとき，等式(★)を満たす正の整数 $a$ と $b$ の組で $a ≧ b$ を満たすものをすべて求めよ．

(3)　等式(★)を満たす正の整数の組 $(a, b, c)$ で $a ≧ b ≧ c$ を満たすものをすべて求めよ．

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2012　鳥取大学　前期

地域学部

易□　並□　難□

【３】　 $2$ 次関数 $f (x) = - x^{2} + 10 x - 16$ について次の問いに答えよ．

(1)　 $f (x) = 0$ を満たす $x$ の値 $α ， β$ を求めよ．ただし $α < β$ とする．

(2)　関数 $y = f (x)$ のグラフと $x$ 軸とで囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ．

(3)　 $2$ 次関数 $g (x) = p x^{2} + q x$ と $f (x)$ は同じ $x$ の値で極値をとり，関数 $y = g (x)$ のグラフと $x$ 軸および $2$ 直線 $x = α ， x = β$ とで囲まれた図形の面積が(2)で求めた $S$ に等しいとする．定数 $p ， q$ の値を求めよ．

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2012　鳥取大学　前期

地域，工，医（生命科学科），農学部

工，医（生命科学科），農学部は【３】

易□　並□　難□

【４】　点 $A (1, 2, 4)$ を通り，ベクトル $\vec{n} = (- 3, 1, 2)$ に垂直な平面を $α$ とする．平面 $α$ に関して同じ側に $2$ 点 $P (- 2, 1, 7) ， Q (1, 3, 7)$ がある．次の問いに答えよ．

(1)　平面 $α$ に関して点 $P$ と対称な点 $R$ の座標を求めよ．

(2)　平面 $α$ 上の点で， $PS + QS$ を最小にする点 $S$ の座標とそのときの最小値を求めよ．

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2012　鳥取大学　前期

工，医（生命科学科），農学部

易□　並□　難□

【２】　関数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 1$ について次の問いに答えよ．

(1)　関数 $f (x)$ の極値を求め， $y = f (x)$ のグラフをかけ．

(2)　 $y = f (x)$ のグラフ上の点 $A (2, 1) ， B (4, 3)$ における接線の方程式をそれぞれ求めよ．

(3)　(2)で求めた $2$ 本の接線と曲線 $y = f (x) （ 2 ≦ x ≦ 4 ）$ で囲まれた領域の面積を求めよ．

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2012　鳥取大学　前期

工，医，農学部

医（医学科）学部は【３】

易□　並□　難□

【４】　連続な関数 $f (x)$ が以下の式を満たすとき，次の問いに答えよ．

$\int_{a}^{x} (x - t) f (t) d t = \cos (a x) - b$

　ただし $a ， b$ は定数で $0 < a < 2$ とする．

(1)　定数 $a ， b$ の値を求めよ．

(2)　 $f (x)$ を求めよ．

(3)　 $f (x)$ が最大値を取るときの $x$ の値を求めよ．

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2012　鳥取大学　前期

医（医学科）学部

地域，工，医（生命科学科），農学部【１】の類題

易□　並□　難□

【１】　袋の中に $1$ から $n$ までの自然数が $1$ つずつ書かれたボールが $n$ 個入っている．次の問いに答えよ．ただし $n ≧ 3$ とする．

(1)　袋から $3$ 個のボールを同時に取り出すとき， $3$ 個のボールに書かれた数の和が $8$ になる確率を求めよ．

(2)　袋から $1$ 個のボールを取り出して，書かれている数字を記録し袋に戻す．これを $3$ 回繰り返すとき，記録された $3$ つの数字のうち，ちょうど $2$ つが同じ数字になる確率を求めよ．

(3)　(2)で求めた確率が $\frac{1}{2}$ 以上となる $n$ の範囲を求めよ．

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2012　鳥取大学　前期

医（医学科）学部

易□　並□　難□

【２】　等式

$(1 + \frac{1}{a}) (1 + \frac{1}{b}) (1 + \frac{1}{c}) = 2$

を満たす正の整数の組 $(a, b, c)$ で $a ≧ b ≧ c$ を満たすものをすべて求めよ．

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2012　鳥取大学　前期

医（医学科）学部

易□　並□　難□

【４】　 $3$ 以上の自然数 $n$ に対して

$S_{n} = \sum_{k = 3}^{n} \frac{\log k}{k} （ n = 3 ， 4 ， 5 ， \dots ）$

とおいて数列 ${S_{n}}$ を定める．次の問いに答えよ．

(1)　関数 $y = \frac{\log x}{x} （ x > 0 ）$ の増減と極値を求めよ．

(2)　 $4$ 以上の自然数 $n$ に対して不等式

$S_{n} - \frac{\log 3}{3} ≦ \int_{3}^{n} \frac{\log x}{x} d x ≦ S_{n - 1}$

が成り立つことを示せ．

(3)　 $\lim_{n \to \infty} \frac{S_{n}}{{(\log n)}^{2}}$ を求めよ．