2012　鳥取大学　後期工学部MathJax

2012-10661-0201

2012　鳥取大学　後期工学部

易□　並□　難□

【１】　 $2000$ 円の金券 $5$ 枚と $5000$ 円の金券 $n$ 枚とが入った箱がある．この箱から同時に $2$ 枚の金券を取り出す場合，その合計が $7000$ 円以上となる確率は $\frac{4}{5}$ 以下である． $5000$ 円の金券の枚数 $n$ をすべて求めよ．ただし $n ≧ 0$ とする．

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【２】　 $k$ を $0 < k < 1$ を満たす実数とする．三角形 $OAB$ において，辺 $OA ， OB$ をそれぞれ $k : 1 - k$ に内分する点を $P ， Q$ とし，直線 $AQ$ と直線 $BP$ の交点を $R$ とする． $\vec{OA} = \vec{a} ，$ $\vec{OB} = \vec{b}$ とおき，線分 $OA ，$ $OB ，$ $AB$ の長さをそれぞれ $α ，$ $β ，$ $γ$ とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　 $\vec{OR}$ を $\vec{a} ， \vec{b} ， k$ で表せ．

(2)　内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を $α ， β ， γ$ で表せ．

(3)　 ${| \vec{a} + \vec{b} |}^{2}$ を $α ， β ， γ$ で表せ．

(4)　線分 $OR$ の長さを $α ， β ， γ ， k$ で表せ．

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【３】　次の条件を満たす数列 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ がある．

$\begin{array}{l} a_{1} = 2 ， a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2 b_{n} + n & （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ） \\ b_{1} = 1 ， b_{n + 1} = - a_{n} + 2 b_{n} + 2 n & （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ） \end{array}$

　このとき次の問いに答えよ．

(1)　 $c_{n} = a_{n} + 2 b_{n}$ で定義される数列 ${c_{n}}$ の満たす漸化式を求めよ．

(2)　数列 ${c_{n}}$ の一般項 $c_{n}$ を求めよ．

(3)　数列 ${c_{n}}$ の第 $n$ 項が $2$ 桁の整数となる $n$ の範囲を求めよ．

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【４】　 $0$ 以上の整数 $n$ に対して， $I_{n} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{n} x d x$ とおくとき，次の問いに答えよ．ただし $\cos^{0} x = 1$ とする．

(1)　 $I_{0} ， I_{1} ， I_{2}$ を求めよ．

(2)　 $n ≧ 2$ に対し， $I_{n}$ と $I_{n - 2}$ の関係式を求めよ．

(3)　 $I_{12}$ を求めよ．

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