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2012 島根大学 前期

教育,生物資源科学部

易□ 並□ 難□

【1】  a を実数とする.次の問いに答えよ.

(1) 放物線 y =x2 -x+3 a と直線 y =3a x+2 は異なる 2 つの交点をもつことを示せ.

(2) (1)の放物線と直線の 2 つの交点をむすぶ線分の中点を M とする. a が実数全体を動くとき, M y 座標の最小値を求めよ.

(3) (1)の放物線と直線の 2 つの交点の x 座標を α β とする. a が実数全体を動くとき, |α |+ |β | の最小値を求めよ.

2012 島根大学 前期

教育,総合理工(数理・情報),生物資源科学部

総合理工(数理・情報)学部は【1】

易□ 並□ 難□

【2】 次の問いに答えよ.

(1)  2 または 3 を,順序を考慮して合計 n になるまで加える方法が何通りあるかを考える.たとえば, n=5 のときは 2 +3 3 +2 2 通りあり, n=6 のときは 2 +2+2 3+3 2 通りある. n=15 のときに何通りあるかを答えよ.

(2) 硬貨を投げ,表が出れば 2 裏が出れば 3 を加えるものとする. 0 からはじめて,合計が 15 以上になるまで硬貨投げを繰り返すとき,合計が 15 になる確率を求めよ.

2012 島根大学 前期

教育,生物資源科学部

易□ 並□ 難□

【3】  t を実数とし, f( t)= 02 |x 2-2 x+1- t2 | dx とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  f( 0) f( 1) の値を求めよ.

(2)  0t <1 のとき, f( t) を求めよ.

(3)  t 0 t1 の範囲にあるとき, f( t) の最小値を求めよ.

2012 島根大学 前期

総合理工学部

数理・情報は【2】

易□ 並□ 難□

【1】  ABC において, BC=5 CA=8 C =60 ° とする. ABC の外接円を O とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  ABC の面積を求めよ.

(2) 円 O の半径を求めよ.

(3)  ABC と相似な DEF に円 O が内接しているとき, ABC DEF の相似比を求めよ.

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総合理工学部

数理・情報は【3】

易□ 並□ 難□

【2】  x>0 に対して, fn (x )= x1n log x n=1 2 3 とおく.このとき,次の問いに答えよ.

(1) 関数 fn (x ) の極値と,極値を与える x の値を求めよ.

(2) (1)で求めた x の値を a n とするとき, xa n の範囲における曲線 y =fn (x ) と直線 x =an および x 軸で囲まれた図形の面積 S n を求めよ.

(3) 極限 limn S n を求めよ.ただし,必要があれば, limn ne -n =0 を用いてもよい.

2012 島根大学 前期

総合理工学部

数理・情報は【4】

易□ 並□ 難□

【3】 原点を中心とする半径 1 の円上の異なる 3 P 0( 1,0 ) P1 ( x1, y1 ) P2 ( x2, y2 ) y1> 0 かつ P0 P1 P2 が正三角形になるようにとる.このとき,次の問いに答えよ.

(1)  P1 の座標 ( x1, y1 ) P2 の座標 ( x2, y2 ) を求めよ.

(2)  A( 1 0 )=( 1 0 ) A ( x1 y1 )=( x 2 y2 ) をみたす 2 次の正方行列 A を求めよ.

(3)  B( 1 0 )=( x1 y1 ) B ( x1 y1 )=( x 2 y2 ) をみたす 2 次の正方行列 B を求めよ.

(4) (2),(3)で求めた行列 A B と正の整数 n に対して, (A B+B AB A) n を求めよ.

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医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【1】 直線上に n +1 個の点 P0 P1 P 2 Pn がこの順に並んでいて,隣り合う 2 点間の距離

P0 P1 P 1P 2 P 2P 3 Pn -1 Pn

がそれぞれ 11 1 2 13 1n となっている.この n +1 個の点から,同様の確からしさで 2 点を選び,その距離を d とする.このとき, d の期待値を求めよ.

2012 島根大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【2】 四角形 ABCD において,直線 AB と直線 CD は点 O で交わり,直線 BC と直線 DA は点 P で交わり,直線 OP と直線 AC は点 Q で交わり,直線 OP と直線 BD は点 R で交わっているとする. OA =a OP =p OC =h a+ kp とするとき,次の問いに答えよ.

(1)  OB a h k を用いて表せ.

(2)  OD a p h k を用いて表せ.

(3)  OQ =x p OR =y p PQ =z p PR =w p とするとき, y zx w の値を求めよ.

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医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【3】 関数

f( x)= (x+ 12 ) log (1+ 1x ) x>0

について,次の問いに答えよ.

(1)  f ( x) を求めよ.

(2) 極限 limx f( x) の値を求め,さらに f( x)< 0 であることを証明せよ.

(3) 関数 y= f( x) の凹凸と漸近線を調べ,そのグラフの概形をかけ.

2012 島根大学 前期

医(医学科)学部

易□ 並□ 難□

【4】  a b を定数とし, a0 とする.連立 1 次方程式

{ 2x +(a -1) y=b a x+a2 y= 1 (☆)

について,次の問いに答えよ.

(1) (☆)が 2 組以上の解をもつような a b の値を求めよ.

(2) (☆)が x =1 y =2 をただ 1 組の解としてもつような a b の値を求めよ.

(3) (☆)が x =y となる解をもつための a b に関する必要十分条件を求めよ.

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