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2012-10681-0101
2012 島根大学 前期
教育,生物資源科学部
易□ 並□ 難□
【1】 a を実数とする.次の問いに答えよ.
(1) 放物線 y =x2 -x+3 ⁢a と直線 y =3⁢a ⁢x+2 は異なる 2 つの交点をもつことを示せ.
(2) (1)の放物線と直線の 2 つの交点をむすぶ線分の中点を M とする. a が実数全体を動くとき, M の y 座標の最小値を求めよ.
(3) (1)の放物線と直線の 2 つの交点の x 座標を α と β とする. a が実数全体を動くとき, |α |+ |β | の最小値を求めよ.
2012-10681-0102
教育,総合理工(数理・情報),生物資源科学部
総合理工(数理・情報)学部は【1】
【2】 次の問いに答えよ.
(1) 2 または 3 を,順序を考慮して合計 n になるまで加える方法が何通りあるかを考える.たとえば, n=5 のときは 2 +3 ,3 +2 の 2 通りあり, n=6 のときは 2 +2+2 , 3+3 の 2 通りある. n=15 のときに何通りあるかを答えよ.
(2) 硬貨を投げ,表が出れば 2 , 裏が出れば 3 を加えるものとする. 0 からはじめて,合計が 15 以上になるまで硬貨投げを繰り返すとき,合計が 15 になる確率を求めよ.
2012-10681-0103
【3】 t を実数とし, f⁡( t)= ∫ 02 |x 2-2⁢ x+1- t2 |⁢ dx とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) f⁡( 0) と f⁡( 1) の値を求めよ.
(2) 0⁢t <1 のとき, f⁡( t) を求めよ.
(3) t が 0 ≦t≦1 の範囲にあるとき, f⁡( t) の最小値を求めよ.
2012-10681-0104
総合理工学部
数理・情報は【2】
【1】 ▵ABC において, BC=5 , CA=8 , ∠C =60⁢ ° とする. ▵ABC の外接円を O とするとき,次の問いに答えよ.
(1) ▵ABC の面積を求めよ.
(2) 円 O の半径を求めよ.
(3) ▵ABC と相似な ▵ DEF に円 O が内接しているとき, ▵ABC と ▵ DEF の相似比を求めよ.
2012-10681-0105
数理・情報は【3】
【2】 x>0 に対して, fn ⁡(x )= x1n ⁢log⁡ x ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) とおく.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 関数 fn ⁡(x ) の極値と,極値を与える x の値を求めよ.
(2) (1)で求めた x の値を a n とするとき, x≧a n の範囲における曲線 y =fn ⁡(x ) と直線 x =an および x 軸で囲まれた図形の面積 S n を求めよ.
(3) 極限 limn→ ∞S n を求めよ.ただし,必要があれば, limn →∞ n⁢e -n =0 を用いてもよい.
2012-10681-0106
数理・情報は【4】
【3】 原点を中心とする半径 1 の円上の異なる 3 点 P 0( 1,0 ), P1 ⁡( x1, y1 ), P2 ( x2, y2 ) を y1> 0 かつ ▵ P0 P1 P2 が正三角形になるようにとる.このとき,次の問いに答えよ.
(1) P1 の座標 ( x1, y1 ) と P2 の座標 ( x2, y2 ) を求めよ.
(2) A⁢( 1 0 )=( 1 0 ) と A ⁢( x1 y1 )=( x 2 y2 ) をみたす 2 次の正方行列 A を求めよ.
(3) B⁢( 1 0 )=( x1 y1 ) と B ⁢( x1 y1 )=( x 2 y2 ) をみたす 2 次の正方行列 B を求めよ.
(4) (2),(3)で求めた行列 A , B と正の整数 n に対して, (A ⁢B+B ⁢A⁢B ⁢A) n を求めよ.
2012-10681-0107
医(医学科)学部
【1】 直線上に n +1 個の点 P0 , P1 , P 2 ,⋯ , Pn がこの順に並んでいて,隣り合う 2 点間の距離
P0 P1 , P 1P 2 ,P 2P 3 ,⋯ , Pn -1 Pn
がそれぞれ 11 , 1 2 , 13 , ⋯ , 1n となっている.この n +1 個の点から,同様の確からしさで 2 点を選び,その距離を d とする.このとき, d の期待値を求めよ.
2012-10681-0108
【2】 四角形 ABCD において,直線 AB と直線 CD は点 O で交わり,直線 BC と直線 DA は点 P で交わり,直線 OP と直線 AC は点 Q で交わり,直線 OP と直線 BD は点 R で交わっているとする. OA→ =a→ , OP→ =p→ , OC→ =h⁢ a→+ k⁢p→ とするとき,次の問いに答えよ.
(1) OB→ を a→ , h ,k を用いて表せ.
(2) OD→ を a→ , p→ , h ,k を用いて表せ.
(3) OQ→ =x⁢ p→ , OR→ =y⁢ p→ , PQ→ =z⁢ p→ , PR→ =w⁢ p→ とするとき, y ⁢zx ⁢w の値を求めよ.
2012-10681-0109
【3】 関数
f⁡( x)= (x+ 12 ) ⁢log⁡ (1+ 1x ) ( x>0 )
について,次の問いに答えよ.
(1) f″ ⁡( x) を求めよ.
(2) 極限 limx→ ∞ f′⁡( x) の値を求め,さらに f′⁡( x)< 0 であることを証明せよ.
(3) 関数 y= f⁡( x) の凹凸と漸近線を調べ,そのグラフの概形をかけ.
2012-10681-0110
【4】 a ,b を定数とし, a≠0 とする.連立 1 次方程式
{ 2⁢x +(a -1) ⁢y=b a⁢ x+a2 ⁢y= 1 ⋯ (☆)
(1) (☆)が 2 組以上の解をもつような a と b の値を求めよ.
(2) (☆)が x =1 ,y =2 をただ 1 組の解としてもつような a と b の値を求めよ.
(3) (☆)が x =y となる解をもつための a と b に関する必要十分条件を求めよ.