2012　島根大学　推薦I総合理工（数理・情報システム）学部数理MathJax

(1)　$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(2)　$f(x)$の導関数を求めよ．

(3)　$y=f(x)$の増減を調べてグラフの概形をかけ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{AEF}$の面積を求めよ．

$d(0.2)=0.2\text{，}d(1)=0\text{，}d(1.3)=0.3$

である．この関数$d$を用いて，関数$f(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$を以下のように定める．

$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{（}x\text{が整数のとき）}\\ d(x)-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{（}x\text{が整数でないとき）}\end{array}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)=f(x+1)\text{（}x\geqq 0\text{）}$を証明せよ．

(2)　$y=f(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$のグラフの概形をかけ．

(1)　自然数$n$と実数$x$に対して$1-x^2+x^4-x^6+\cdots +{(-x^2)}^n$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}dx$を求めよ．

(3)　自然数$n$と実数$x$に対して$0\leqq {\displaystyle \frac{x^{2(n+1)}}{1+x^2}}\leqq x^{2(n+1)}$が成り立つことを用いて，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{x^{2(n+1)}}{1+x^2}}dx=0$を示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }(1-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{7}}+\cdots +{(-1)}^n{\displaystyle \frac{1}{2n+1}})$を求めよ．