2012　岡山大学　前期MathJax

【１】　$a$を正の定数とし，$x\text{，}y$に関する次の不等式を考える．

$\begin{array}{ll}3y\geqq 5x& \cdots \text{①}\\ 4y\geqq 7a& \cdots \text{②}\\ x-y\geqq 3-a& \cdots \text{③}\end{array}$

(1)　$\text{①}\text{，}\text{②}$を同時に満たす点$(x,y)$のなす領域を$xy$平面上に図示せよ．

(2)　$\text{①}\text{，}\text{②}\text{，}\text{③}$を同時に満たす実数の組$(x,y)$が存在するような$a$の範囲を求めよ．

【２】　正$n$角形の頂点を${\mathrm{A}}_0\text{，}{\mathrm{A}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_{n-1}$とする．頂点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_{n-1}$から$2$点をとり，それらと${\mathrm{A}}_0$を頂点とする三角形を作る．このようにして得られる三角形の総数を$a_n\text{，}$そのうちの二等辺三角形の総数を$b_n$とする．ただし正三角形は二等辺三角形とみなす．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　$a_6$および$b_6$を求めよ．

(2)　整数$m\geqq 3$に対し，$S={\displaystyle \sum _{k=3}^m}{a}_k$を求めよ．

(3)　$b_9$を求めよ．

【３】　四角形$\mathrm{ABCD}$は平行四辺形ではないとし，辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とする．

(1)　線分$\mathrm{PR}$の中点$\mathrm{K}$と線分$\mathrm{QS}$の中点$\mathrm{N}$は一致することを示せ．

(2)　線分$\mathrm{AC}$の中点$\mathrm{M}$と線分$\mathrm{BD}$の中点$\mathrm{N}$を結ぶ直線は点$\mathrm{K}$を通ることを示せ．

【４】　$0\leqq a\leqq 1$に対して

$f(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|(x-a)(x-3+a)|dx$

と定める．$f(a)$の最大値と最小値を求めよ．

【１】　$\mathrm{O}$を原点とする座標平面における曲線$C:{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$上に，点$\mathrm{P}(1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$をとる．

(1)　$C$の接線で直線$\mathrm{OP}$に平行なものをすべて求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$▵\mathrm{OPQ}$の面積の最大値と，最大値を与える$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めよ．

【２】　表の出る確率が$p\text{，}$裏の出る確率が$q$である硬貨を用意する．ここで$p\text{，}q$は正の定数で，$p+q=1$を満たすとする．座標平面における領域$D$を

$D=\{(x,y)|0\leqq x\leqq 2\text{，}0\leqq y\leqq 2\}$

とし，$D$上を動く点$\mathrm{Q}$を考える．$\mathrm{Q}$は点$(0,0)$から出発し，硬貨を投げて表が出れば$x$軸方向に$+1$だけ進み，裏が出れば$y$軸方向に$+1$だけ進む．なお，この規則で$D$上を進めないときには，その回はその点にとどまるものとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　硬貨を$4$回投げて$\mathrm{Q}$が点$(2,2)$に到達する確率$P_4$を求めよ．

(2)　硬貨を$5$回投げて$5$回目に初めて$\mathrm{Q}$が点$(2,2)$に到達する確率$P_5$を求めよ．

(3)　$P_5={\displaystyle \frac{1}{9}}$のとき，$p$の値を求めよ．

【３】　$a$を正の定数とし，座標平面上の$2$曲線$C_1:y=e^{x^2}\text{，}{C}_2:y=a{x}^2$を考える．このとき以下の問いに答えよ．ただし必要ならば$\underset{t\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{e^t}{t}}=+\infty$であることを用いてもよい．

(1)　$t>0$の範囲で，関数$f(t)={\displaystyle \frac{e^t}{t}}$の最小値を求めよ．

(2)　$2$曲線$C_1\text{，}{C}_2$の共有点の個数を求めよ．

(3)　$C_1\text{，}{C}_2$の共有点の個数が$2$のとき，これらの$2$曲線で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

【４】　$f(x)=4x(1-x)$とする．このとき

$\{\begin{array}{l}{f}_1(x)=f(x)\text{，}\\ f_{n+1}(x)=f_n(f(x))\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

によって定まる多項式$f_n(x)$について以下の問いに答えよ．

(1)　方程式$f_2(x)=0$を解け．

(2)　$0\leqq t<1$を満たす定数$t$に対し，方程式$f(x)=t$の解を$\alpha (t)\text{，}\beta (t)$とする．$c$が$0\leqq c<1$かつ$f_n(c)=0$を満たすとき，$\alpha (c)\text{，}\beta (c)$は$f_{n+1}(x)=0$の解であることを示せ．

(3)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲での方程式$f_n(x)=0$の異なる解の個数を$S_n$とする．このとき$S_{n+1}$を$S_n$で表し，一般項$S_n$を求めよ．