2012　広島大学　前期MathJax

【１】　$f(x)={\log }_2(x-1)+{\log }_2(4-x)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の定義域を求めよ．

(2)　不等式$f(x)\geqq 0$を解け．

(3)　関数$f(x)$の最大値を$m$とするとき，$2^{m-2}$を求めよ．

(4)　(3)の$m$について，${1000}^m$の整数部分の$\stackrel{\text{けた}}{\text{桁}}$数を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】　放物線$C:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$上に$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$があり，$\mathrm{A}$の$x$座標は$3$である．点$\mathrm{A}\text{，}$点$\mathrm{B}$における$C$の接線をそれぞれ$l\text{，}m$とし，$l$と$m$の交点を$\mathrm{P}$とおくと，$\angle \mathrm{APB}=45\mathrm{°}$であった．次の問いに答えよ．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　接線$m$の傾きを求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(4)　$C\text{，}l\text{，}m$で囲まれた図形において，不等式$x\geqq 0$を満たす部分の面積$S$を求めよ．

【３】　図のような$3$辺の長さをもつ三角形$\mathrm{ABC}$がある．

　次の問いに答えよ．

(1)　$45\mathrm{°}<\angle B<60\mathrm{°}$を証明せよ．

(2)　$\angle A=2\angle C$を証明せよ．

(3)　$40\mathrm{°}<\angle C<45\mathrm{°}$を証明せよ．

【４】　$N$は$4$以上の整数とする．次の規則にしたがって$1$個のさいころを繰り返し投げる．

ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．

(1)　さいころを投げる回数は，最大で何回か．

(2)　さいころを$3$回投げて操作を終了する確率を求めよ．

(3)　さいころを$N$回投げて操作を終了する確率を求めよ．

(4)　最後に奇数の目が出て操作を終了する確率を求めよ．

(5)　$N=4$のとき，さいころを投げる回数の期待値を求めよ．

【５】　$n$は$3$以上の整数とする．$1$から$n$までの整数から連続する$2$つの整数$x\text{，}x+1$を取り除く．次の問いに答えよ．

(1)　$n=17$のとき，残された整数の総和を個数$15$で割った値が${\displaystyle \frac{42}{5}}$であるとする．取り除いた$2$つの整数を求めよ．

(2)　$n\geqq 39$のとき，不等式

${\displaystyle \frac{1}{2}}n(n+1)-1-2(n-1)>{\displaystyle \frac{205}{11}}(n-2)$

が成り立つことを証明せよ．

(3)　残された整数の総和を個数$n-2$で割った値が${\displaystyle \frac{205}{11}}$であるとする．$n$と取り除いた$2$つの整数を求めよ．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$の表す$1$次変換によって，$2$点$\mathrm{P}(1,1)\text{，}\mathrm{Q}(2,2)$は連立不等式$1\leqq x\leqq 2\text{，}1\leqq y\leqq 2$の表す領域内の点${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }$にそれぞれ移されるものとする．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は正の実数で$a>c$を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a+b=1$および$c+d=1$が成り立つことを証明せよ．

(2)　$4$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{R}(a,c)\text{，}\mathrm{S}(a+b,c+d)\text{，}\mathrm{T}(b,d)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ORST}$の面積を$p$とするとき，次の式が成り立つことを証明せよ．

$A\left(\begin{array}{c}b\\ -c\end{array}\right)=p\left(\begin{array}{c}b\\ -c\end{array}\right)$

(3)　自然数$n$に対して，$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$を

$\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)=A^n\left(\begin{array}{cc}1& b\\ 1& -c\end{array}\right)$

で定める．このとき$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$を$b\text{，}c\text{，}n$および(2)の$p$を用いて表せ．

(4)　$A^3={\displaystyle \frac{1}{27}}\left(\begin{array}{cc}14& 13\\ 13& 14\end{array}\right)$となるように$A$を定めよ．

【２】　$a$を実数とし，$f(x)=x^3-3x^2+3x$とおく．数列$\{x_n\}$を

$x_1=a\text{，}{x}_{n+1}=f(x_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　すべての自然数$n$について$x_n=a$となるとき，$a$を求めよ．

(2)　$a<1$のとき，$x_n<1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを証明せよ．

(3)　$0<a<1$のとき，$x_n<x_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを証明せよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^x}{1+e^x}}$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)\text{，}\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$の値を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．

(3)　$\alpha =\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$とおく．正の実数$t$に対して，曲線$y=f(x)\text{，}3$直線$x=t\text{，}x=0$および$y=\alpha$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．

(4)　$\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$の値を求めよ．

【４】　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円周上の異なる$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が条件

$(\cos \theta )\overrightarrow{\mathrm{OA}}+(\sin \theta )\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$は垂直であることを証明せよ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{CA}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right|$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$の周の長さ$\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}$を最大にする$\theta$を求めよ．

【５】　$n$は自然数とし，点$\mathrm{P}$は次の規則にしたがって座標平面上を動くとする．

ただし，さいころの目の出方は同様に確からしいとする．次の問いに答えよ．

(1)　$n=3$のとき，出た目が$4\text{，}1\text{，}2$であったとする．このとき$\mathrm{P}$が最後に移った点の座標を求めよ．

(2)　$n=3$のとき，$\mathrm{P}$が点$(1,2)$にある確率を求めよ．

(3)　$n=6$のとき，$\mathrm{P}$が点$(-1,-2)$にある確率を求めよ．

(4)　$n=3m$のとき，$\mathrm{P}$が点$(1,2)$にある確率を求めよ．ただし，$m$は自然数とする．