2012　広島大学　後期

【１】　数列$\{a_n\}$は以下の条件を満たすとする．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_{n+1}=2a_n-{a_n}^2\text{（}n\geqq 1\text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　すべての$n\geqq 1$について，$0<a_n<1$が成り立つことを示せ．

(2)　すべての$n\geqq 1$について，$a_{n+1}\geqq a_n$が成り立つことを示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=1$を示せ．

【２】　原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{X}(\sqrt{3},1)$を通る直線と点$\mathrm{X}$で垂直に交わる直線を$l$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　直線$l$の方程式を求めよ．

(2)　行列$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)$で表される一次変換を$f$とする．直線$l$を$f$で移した図形$l^{\prime }$の方程式を求めよ．

(3)　$l$と$l^{\prime }$の交点を$\mathrm{Y}\text{，}$点$\mathrm{X}$の一次変換$f$による像を$\mathrm{Z}$とする．$▵\mathrm{XYZ}$の面積を$S_1\text{，}▵\mathrm{XOZ}$の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$を求めよ．

【３】　関数

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^{-ax}}}\text{（}a>0\text{）}$

に対して，次の問いに答えよ．

(1)　$f^{\prime }(x)=af(x)\{1-f(x)\}\text{，}{f}^{″}(x)=a^{2}f(x)\{1-f(x)\}\{1-2f(x)\}$となることを示せ．

(2)　${\displaystyle \int }f(x)\{1-f(x)\}dx$を$a$と$f(x)$および積分定数$C$を用いて表せ．

(3)　$n$が自然数のとき，$g(x)=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{1+e^{-nx}}}$で定まる関数$g(x)$を求めよ．

【４】　空間内の$3$点$\mathrm{A}(2,2,2)\text{，}\mathrm{B}(0,0,2)\text{，}\mathrm{P}(x,y,z)$について，次の問いに答えよ．

(1)　空間内の点$\mathrm{P}$が$\angle \mathrm{APB}=90\mathrm{°}$を満たしながら動くとする．このとき，点$\mathrm{P}$がえがく図形を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が$\angle \mathrm{APB}=90\mathrm{°}$を満たしながら動くとき，直角三角形$▵\mathrm{APB}$の面積の最大値を求めよ．

(3)　点$\mathrm{P}$が$\angle \mathrm{APB}=90\mathrm{°}$および$z=2$を満たし，かつ$▵\mathrm{APB}$の面積が最大となるとする．このとき，点$\mathrm{L}(1,1,4)$に置いた光源が$xy$平面上に作る三角形$▵\mathrm{APB}$の影の面積を求めよ．

【５】　$5$種類の数字$-1\text{，}0\text{，}1\text{，}2\text{，}3$が書かれた玉がそれぞれ$2$個ずつ，計$10$個袋に入っている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　袋から玉を同時に$3$個取り出すとき，それらの玉に書かれている数の積が$3$以上になる確率を求めよ．

(2)　袋から玉を同時に$3$個取り出すとき，それらの玉に書かれている最も大きな数と最も小さな数の差が$2$以上になる確率を求めよ．

(3)　袋から玉を同時に$3$個取り出し，それらの玉に書かれている数の和を記録して元に戻すという反復試行を$500$回行う．ちょうど$n$個の$0$が記録される確率を$p_n$とおくとき，${\displaystyle \frac{p_{n+1}}{p_n}}$を$n$の式で表せ．また，$p_n$が最大となるときの$n$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし$e$は自然対数の底である．

(1)　$x\geqq 0$ならば$e^x>{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$であることを示せ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　関数$y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}\text{（}x>0\text{）}$の増減を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸は調べなくてもよい．また，必要ならば(1)を用いてよい．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$a\text{，}b$を実数とする．$x$の方程式$a{x}^2+bx=x$が異なる実数解をちょうど$2$つもつための$a\text{，}b$の条件とそのときの実数解を求めよ．

【２】　$0<r<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とし，中心が原点で半径が$1$と$1-2r$の同心円と，それらに同時に接する半径$r$の円$C_1$がある．$n$を$2$以上の自然数とし，原点を中心に$C_1$を反時計回りに${\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$だけ回転して得られる円を$C_2$とおく．このとき，次の条件が成り立つとする．

条件：$C_1$と$C_2$は外接するか，または互いに外部にある．

　以下の問いに答えよ．

(1)　不等式

$r\leqq {\displaystyle \frac{\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}}{1+\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}}}$

を示せ．

(2)　不等式

${\displaystyle \frac{nr}{1-r}}<\pi$

を示せ．ただし，$x>0$で$\sin x<x$が成り立つことを用いてよい．

(3)　$0<r<{\displaystyle \frac{1}{2}}$に対して，条件を満たす最大の整数$n$を$N(r)$とする．中心が原点で半径が$1$と$1-2r$の同心円で囲まれた図形の面積を$S(r)$とするとき，

$\underset{r\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{\pi r^{2}N(r)}{S(r)}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$

であることを示せ．

【３】　$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)$を直径とする右の図のような半円がある．弧$\mathrm{AB}$上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を取り，弦$\mathrm{PQ}$を折り目として弧$\mathrm{PQ}$を$x$軸に接するように折り返す．接点の$x$座標を$t\text{（}-1\leqq t\leqq 1\text{）}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線の方程式を求めよ．

(2)　$t$が$-1$から$1$まで動くとき，弦$\mathrm{PQ}$が通過する範囲を図示し，その面積を求めよ．

【４】　円$O_1$に外接し，円$O_2$に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$がある．$\mathrm{AB}=7\text{，}\mathrm{BC}=6\text{，}\mathrm{CD}=6$であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{DA}$の長さを求めよ．

(2)　$\cos A$の値を求めよ．

(3)　円$O_1$および円$O_2$の半径をそれぞれ求めよ．

(4)　半径$1$の円$O$がある．円$O$を四角形$\mathrm{ABCD}$の周および内部に含まれるように自由に動かす．このとき，円$O$およびその内部が通過してできる図形の面積を求めよ．

【５】　以下の問いに答えよ．

(1)　$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{6}}\\ {\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\text{，}C=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{12}}& 0\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\right)$とする．このとき，$A=BCB$となることを示せ．

(2)　$n$を自然数とする．このとき(1)の$A$に対して$A^n$を求めよ．

(3)　さいころを投げ，以下のルールに従って三角形$\mathrm{EFG}$の頂点を動く点$\mathrm{D}$がある．

最初に点$\mathrm{D}$は頂点$\mathrm{E}$にあるとし，さいころを$n$回投げた後，点$\mathrm{D}$が頂点$\mathrm{E}$にある確率を$p_n\text{，}$頂点$\mathrm{F}$にある確率を$q_n$とする．このとき，

$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& {\displaystyle \frac{1}{6}}\\ {\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{p}_n-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ q_n-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{p}_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ q_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

となることを示せ．ただし，さいころの$1$から$6$までの目の出る確率は等しいとする．

(4)　さいころを$n$回投げた後，点$\mathrm{D}$が頂点$\mathrm{G}$にある確率を$r_n$とする．$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n$を求めよ．

(5)　$\alpha =\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n\text{，}\beta =\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n\text{，}\gamma =\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n$とおく．$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$の大小を調べよ．