2012　山口大学　前期MathJax

【１】　曲線$C\text{：}y=x^3-12x^2+25x-10$と直線$l\text{：}y=mx-10$を考える．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$C$と$l$が異なる$3$点で交わるような$m$の値の範囲を求めなさい．

(2)　(1)において，$C$と$l$の交点を$x$座標が小さいものから順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とおく．このとき，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}=1:2$となる$m$の値をすべて求めなさい．

【２】　点$\mathrm{O}$を原点とする空間内に$2$点$\mathrm{P}(1,1,2)\text{，}\mathrm{Q}(-1,a,b)$があり，$\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}$かつ$\angle \mathrm{POQ}=60\mathrm{°}$が成り立っている．ただし，$a<0$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めなさい．

(2)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を含む平面上において，$\mathrm{Q}$とは異なる点$\mathrm{R}(x,y,z)$が$\mathrm{OP}=\mathrm{OR}$かつ$\angle \mathrm{POR}=60\mathrm{°}$をみたすように$x\text{，}y\text{，}z$の値を定めなさい．

【３】　$a<b$とする．放物線$C\text{：}y=x^2$上の点$\mathrm{A}(a,a^2)$における接線を$l_1$とし，点$\mathrm{B}(b,b^2)$における接線を$l_2$とする．$l_1$と$l_2$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{P}$の座標を$a\text{，}b$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とし，点$\mathrm{D}(p,p^2)$における放物線$C$の接線を$l_3$とする．$l_1$と$l_3$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}{l}_2$と$l_3$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{QR}}}$を求めなさい．

(3)　放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}$三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とする．${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を求めなさい．

【４】　$3$つの箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があり，$1$から$4$までの数字を$1$つずつ書いた$4$枚のカードがそれぞれの箱に入っている．箱$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$から無作為に$1$枚ずつカードを引き，そこに書かれた数字を$a\text{，}b\text{，}c$とする．$p=a+b+c$とし，以下のルールで得点を定める．

(ア)　$a\text{，}b\text{，}c$すべてが同じ数字であるとき，得点を$3p$とする．

(イ)　$a\text{，}b\text{，}c$の中に同じ数字が$2$つあり，残りが異なる数字であるとき，得点を$2p$とする．

(ウ)　$a\text{，}b\text{，}c$すべてが異なるとき，得点を$p$とする．

　このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　得点が$7$である確率を求めなさい．

(2)　得点が$10$以下である確率を求めなさい．

(3)　得点の期待値を求めなさい．

【１】　$xy$平面上に点$\mathrm{A}(-1,0)$と，原点を中心とする半径$1$の円$C$を考える．$C$上の点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線を$l$とし，$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の$x$座標を$a$とするとき，$f(a)=\mathrm{AQ}+\mathrm{PQ}$を$a$を用いて表しなさい．

(2)　(1)で求めた関数$f(a)$の$-1\leqq a\leqq 1$における最大値を求めなさい．

【４】　半径$1$の円周上に等間隔に並んだ$8$個の点がある．これらの中から相異なる$3$個の点を同時に選び，それらを結んで三角形をつくる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　何種類の異なる三角形がつくられるかを答えなさい．ただし，合同な三角形は同じものとみなすことにする．

(2)　面積が最大の三角形がつくられる確率と，その三角形の面積を求めなさい．

(3)　つくられる三角形の面積の期待値を求めなさい．

【１】　関数$f(x)=-x^2+15x-36$と$g(x)={\log }_2(-x^2+15x-36)$について，次の問いに答えなさい．

(1)　$f(x)>0$となる$x$の範囲を求めなさい．

(2)　${\log }_{2}3=1.585$として，$g(x)$の最大値を小数で表しなさい．

(3)　$f(g(x))>0$となる$x$の範囲を求めなさい．

【２】　平面上に異なる$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がある．$\mathrm{A}$を通る直線$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$と$\mathrm{B}$を通る直線$m_1\text{，}{m}_2\text{，}{m}_3$が図のように交わっており，直線$l_1$と$m_1$の交点を$\mathrm{P}\text{，}{l}_2$と$m_2$の交点を$\mathrm{Q}\text{，}{l}_3$と$m_3$の交点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$l_1$と$l_3\text{，}{l}_2$と$l_3\text{，}{m}_1$と$m_2\text{，}{m}_2$と$m_3$のなす角はすべて${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$であり，$0<\angle \mathrm{PAB}<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}0<\angle \mathrm{PBA}<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$である．$\alpha =\angle \mathrm{PAB}\text{，}\beta =\angle \mathrm{PBA}$として，次の問いに答えなさい．

(1)　$\angle \mathrm{APB}+\angle \mathrm{AQB}$を求めなさい．

(2)　$5$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$が同一円周上にあることを示しなさい．

(3)　$5$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$を通る円の半径が$1$であるとき，五角形$\mathrm{AQRBP}$の面積を$\sin \alpha \text{，}\sin \beta \text{，}\sin 2\sin \alpha \text{，}\sin 2\beta$を用いて表しなさい．

【３】　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は，$\mathrm{AB}=2$を満たしながら放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$の上を動く点とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$の$x$座標をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}p$とするとき，$a+b$と$ab$の値をそれぞれ$p$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{P}$の$y$座標を$p$を用いて表しなさい．

(3)　$\mathrm{P}$の$x$座標に対して$\mathrm{P}$の$y$座標を定める関数を$y=f(x)$とする．$2$つの曲線$y=f(x)\text{，}y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$と$2$直線$x=0\text{，}x=2$で囲まれた図形の面積を求めなさい．

【４】　$xy$平面において，直線$y=8$の上に点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4\text{，}{\mathrm{P}}_5$が，直線$y=0$の上に点${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2\text{，}{\mathrm{Q}}_3\text{，}{\mathrm{Q}}_4\text{，}{\mathrm{Q}}_5$が，それぞれ$x$座標の小さい順に並んでいる．これらを$y=8$上の点と$y=0$上の点ひとつずつからなる$5$つの組に分け，それぞれの組の$2$点を結んでできる$5$本の線分を考える．右図はその一例である．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$3$本の線分${\mathrm{P}}_i{\mathrm{Q}}_n\text{，}{\mathrm{P}}_j{\mathrm{Q}}_m\text{，}{\mathrm{P}}_k{\mathrm{Q}}_l$が$1$点$\mathrm{R}$で交わるとき，${\displaystyle \frac{{\mathrm{P}}_i{\mathrm{P}}_j\cdot {\mathrm{Q}}_l{\mathrm{Q}}_m}{{\mathrm{P}}_j{\mathrm{P}}_k\cdot {\mathrm{Q}}_m{\mathrm{Q}}_n}}$を求めなさい．ただし，$i<j<k$かつ$l<m<n$であるとする．

(2)　${\mathrm{P}}_i\text{，}{\mathrm{Q}}_i\text{（}1\leqq i\leqq 5\text{）}$の$x$座標を$2^i$とするとき，どのような結び方をしても$3$本の線分が$1$点で交わらないことを(1)を用いて背理法で示しなさい．

(3)　${\mathrm{P}}_i\text{，}{\mathrm{Q}}_i\text{（}1\leqq i\leqq 5\text{）}$の$x$座標を$2^i$とするとき，交点の数の合計がちょうど$2$つになるような結び方は何通りあるかを答えなさい．