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2012 山口大学 後期

理(数理科学科)学部

配点60点

易□ 並□ 難□

【1】  a を正の定数とし,関数 f( x) を次で定める.

f( x)= π6 ax cos( at) sin( at) dt

このとき,次の問いに答えなさい.

(1) 積分を計算し, f( x) a x の式で表しなさい.

(2) 方程式 f( x)= 0 が,区間 [ 0,1 ] でちょうど 3 つの解を持つような, a の範囲を求めなさい.

2012 山口大学 後期

理(数理科学科)学部

配点70点

易□ 並□ 難□

【2】  r を正の定数とする.座標平面上に, y=x 2 で表される放物線 S と, y 軸上の点 A ( 0,a ) を中心とする半径 r の円 T がある.このとき,次の問いに答えなさい.

(1)  r=1 とする. S T が異なる 4 点で交わるための a の条件を求めなさい.

(2)  A y 軸上を動くとき, S T が異なる 2 点で接することがある.そのときの r の条件を求めなさい.

(3)  S T が異なる 2 B C で接し, BAC= 120 ° となるように r の値を定めなさい.

(4) 点 B C と定数 r を(3)で定めたものとする. T 上の弧 BC の短い方と, S で囲まれる部分の面積を求めなさい.

2012 山口大学 後期

理(数理科学科)学部

配点70点

易□ 並□ 難□

【3】  1 から n までの自然数を要素とする集合で,連続した数を含まないものを考える.それらのうち,要素の数が 2 個であるものの個数を an 要素の数が 3 個であるものの個数を b n とする.たとえば, n=5 のとき,要素の個数が 2 であるものは次の 6 つである.

{1 ,3} { 1,4 } {1 ,5} { 2,4 } {2 ,5} { 3,5 }

また,要素の数が 3 個であるものは次の 1 つである.

{1 ,3,5 }

よって, a5 =6 b 5=1 である.このようにして定まる数列 { an } { bn } について,次の問いに答えなさい.

(1)  a7 b 7 を求めなさい.

(2)  n3 のとき, { an } の一般項を求めなさい.

(3)  n5 のとき, {b n} の一般項を求めなさい.

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