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2012-10741-0201
2012 山口大学 後期
理(数理科学科)学部
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 a を正の定数とし,関数 f⁡( x) を次で定める.
f⁡( x)= ∫ π6⁢ ax cos⁡( a⁢t) ⁢sin⁡( a⁢t) ⁢dt
このとき,次の問いに答えなさい.
(1) 積分を計算し, f⁡( x) を a と x の式で表しなさい.
(2) 方程式 f⁡( x)= 0 が,区間 [ 0,1 ] でちょうど 3 つの解を持つような, a の範囲を求めなさい.
2012-10741-0202
配点70点
【2】 r を正の定数とする.座標平面上に, y=x 2 で表される放物線 S と, y 軸上の点 A ( 0,a ) を中心とする半径 r の円 T がある.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) r=1 とする. S と T が異なる 4 点で交わるための a の条件を求めなさい.
(2) A が y 軸上を動くとき, S と T が異なる 2 点で接することがある.そのときの r の条件を求めなさい.
(3) S と T が異なる 2 点 B ,C で接し, ∠BAC= 120⁢ ° となるように r の値を定めなさい.
(4) 点 B ,C と定数 r を(3)で定めたものとする. T 上の弧 BC の短い方と, S で囲まれる部分の面積を求めなさい.
2012-10741-0203
【3】 1 から n までの自然数を要素とする集合で,連続した数を含まないものを考える.それらのうち,要素の数が 2 個であるものの個数を an , 要素の数が 3 個であるものの個数を b n とする.たとえば, n=5 のとき,要素の個数が 2 であるものは次の 6 つである.
{1 ,3} ,{ 1,4 }, {1 ,5} ,{ 2,4 }, {2 ,5} ,{ 3,5 }
また,要素の数が 3 個であるものは次の 1 つである.
{1 ,3,5 }
よって, a5 =6 ,b 5=1 である.このようにして定まる数列 { an } と { bn } について,次の問いに答えなさい.
(1) a7 と b 7 を求めなさい.
(2) n≧3 のとき, { an } の一般項を求めなさい.
(3) n≧5 のとき, {b n} の一般項を求めなさい.