2012　徳島大学　後期総合科学（理系），工学部MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を実数とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 2& -1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}-1& c\\ d& 2\end{array}\right)$は$AB=BA=O$を満たす．ただし，$O$は$2$次の零行列である．また，$C=\left(\begin{array}{cc}5& -3\\ 6& -4\end{array}\right)$とする．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を求めよ．

(2)　$A^2\text{，}{B}^2$を求めよ．

(3)　$k{C}^{-1}+tB{C}^{-1}=E$を満たす実数$k\text{，}l$を求めよ．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(4)　自然数$n$に対し，$C^n$を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は，初項が$a_1=1\text{，}{b}_1=0$であり，次の関係式を満たす．

$a_{n+1}=5a_n+4b_n\text{，}{b}_{n+1}=a_n+5b_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

(1)　$a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta (a_n+\alpha b_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たす実数$\alpha$と$\beta$の組を$2$つ求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$の一般項を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

【３】　$f(x)=x(1-x^2)$とする．曲線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(t,f(t))$における接線を$l$とする．

(1)　接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　$t\geqq 0$のとき，曲線$C$と接線$l$および$2$つの直線$x=0\text{，}x=1$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めよ．

(3)　$t$が$t\geqq 0$の範囲を動くとき，(2)で求めた$S(t)$の最小値を求めよ．