2012　鳴門教育大学　前期MathJax

【１】　$a>{\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき，$x$についての方程式

$|a{x}^2-1|=|x^2-4|$

を解け．

【２】　正方形の各辺を$n$等分する点と，正方形の$4$つの頂点について，次の問いに答えよ．ただし，$n\geqq 2$とする．

(1)　これらの点のうちの$3$個を頂点とする三角形の個数を求めよ．

(2)　(1)のうち，直角二等辺三角形の個数を求めよ．

【３】　赤玉$2$個，黒玉$4$個，白玉$N$個が入った袋から，$2$個の玉を同時に取り出す．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$N\geqq 1$とする．

(1)　取り出した$2$つの玉が同じ色である確率が${\displaystyle \frac{1}{3}}$以下であるとする．このとき$N$の取りうる値を求めよ．

(2)　取り出した$2$つの玉が赤玉と白玉である確率を$P(N)$とするとき，$P(N+1)-P(N)$を求めよ．

(3)　取り出した$2$つの玉が赤玉と白玉である確率が最大になる$N$を求めよ．

【４】　半径$2$の円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{BD}$がこの円の直径であるとする．$\mathrm{AD}=3\text{，}\mathrm{CD}=2$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．

(2)　$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．

(3)　$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\angle \mathrm{AEB}=\theta$とする．このとき，$\sin \theta$の値を求めよ．