2012　愛媛大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}+\sqrt{7}}}$の分母を有理化せよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　方程式$4x^2-3x+k=0$の$2$つの解が$\sin \theta \text{，}\cos \theta$で与えられるとき，定数$k$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　関数$y=4^x-2^{x+2}+1$の$-1\leqq x\leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(4)　直方体の各面にさいころのように$1$から$6$までの目が書かれれいる．この直方体を投げて，$1\text{，}6$の目が出る確率はともに$p$であり，$2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$の目が出る確率はいずれも$q$である．この直方体を$1$回投げて，出た目の数を得点とする．このとき，得点の期待値は$p\text{，}q$の値によらずに一定であることを示せ．

【２】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が条件

$S_n=4n-3a_n$

を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　初項$a_1$を求めよ．

(2)　一般項$a_n$を求めよ．

(3)　$a_n>{\displaystyle \frac{35}{9}}$となる最小の自然数$n$を求めよ．ただし，必要ならば${\log }_{10}2=0.301\text{，}{\log }_{10}3=0.477$として計算してよい．

【３】　次の問いに答えよ．

(1)　放物線$y=x^2+2x-3$と直線$y=2x+4$の交点の座標を求めよ．

(2)　次の連立不等式で表される領域を$D$とする．領域$D$を図示し，その面積を求めよ．

$\{\begin{array}{c}y\geqq x^2+2x-3\\ y\leqq 2x+4\\ y\leqq 0\end{array}$

(3)　点$(x,y)$が(2)の領域$D$を動くとき，$x+2y$のとりうる値の範囲を求めよ．

【４】　図のような$1$辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}‐\mathrm{EFGH}$を考える．線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{K}$とする．さらに，辺$\mathrm{CG}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{L}$とし，辺$\mathrm{EF}$を$p:1-p$に内分する点を$\mathrm{M}$とする．ただし，$0<p<1$である．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{EF}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{EH}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{EA}}$とおく．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$および$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{KL}}$と$\overrightarrow{\mathrm{KM}}$が垂直になるような$p$の値を求めよ．

(3)　直線$\mathrm{KL}$と面$\mathrm{EFGH}$を含む平面との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(ⅰ)　線分$\mathrm{EQ}$の長さを求めよ．

(ⅱ)　$▵\mathrm{EKQ}$の面積を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$を実数で，$a\ne 0$とする．$c={\displaystyle \frac{2+3ai}{a-bi}}$が純虚数のとき，$b$と$c$の値を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}|x\cos {\displaystyle \frac{x}{3}}|dx$を求めよ．

【５】　次の問いに答えよ．

(4)　座標平面上の曲線

$x=2\cos \theta +1\text{，}y=3\sin \theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$

で囲まれた図形を$x$軸の回りに$1$回転して得られる回転体の体積を求めよ．

【６】　数列$\{a_n\}$を

$a_n=[\sqrt{n-1}]\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定める．ただし，$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．また，自然数$n$に対して

$S(n)={\displaystyle \sum _{k=1}^{n^2}}{a}_k$

とおく．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4\text{，}{a}_5$の値を求めよ．

(2)　$a_n=5$となる$n$はいくつあるか．

(3)　$S(n)$を求めよ．

(4)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(n)}{n^3}}$を求めよ．

【７】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$に対して

$X=-{\displaystyle \frac{1}{5}}(A-2E)\text{，}Y={\displaystyle \frac{1}{5}}(A+3E)$

とおく．ただし，$E$は$2$次の単位行列とする．

(1)　$XY\text{，}YX\text{，}{X}^2\text{，}{Y}^2$を計算せよ．

(2)　$A=aX+bY$を満たす実数$a\text{，}b$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．

【８】　実数$a$は$a>e$を満たすとし，曲線$y=\log x$上の点$\mathrm{A}(a,\log a)$における接線を$l$とする．

(1)　$l$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とし，$l$と$x$軸との交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(2)　$l$と$x$軸，$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1(a)$とし，曲線$y=\log x$と$x$軸および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を$S_2(a)$とする．$S_1(a)$と$S_2(a)$を求めよ．

(3)　$T(a)=S_2(a)-S_1(a)$とおく．$e^2\leqq a\leqq e^3$における$T(a)$の最大値と最小値を求めよ．

【９】　次の問いに答えよ．

(1)　${33}^{20}$を$90$で割ったときの余りを求めよ．

【９】　次の問いに答えよ．

(2)　正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{P}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{e}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{FP}}$を$\overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{e}$を用いて表せ．

【９】　次の問いに答えよ．

(3)　袋の中に$1$から$10$までの数字が$1$つずつ書かれた$10$個の玉が入っている．この袋から同時に$3$個の玉を取り出す．このとき，取り出された玉の$3$つの数を$3$辺の長さとする三角形が存在する確率を求めよ．

志望別問題選択一覧

教育，農，工（環境建設工学科社会デザインコース）学部　【１】，【２】，【３】，【４】

理，工（環境建設工学科社会デザインコース除く）学部　【４】，【５】，【６】，【７】，【８】

医学部　【４】，【６】，【７】，【８】，【９】