Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2012年度一覧へ
大学別一覧へ
愛媛大学一覧へ
2012-10801-0201
2012 愛媛大学 後期
理,工学部
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) z3= i となる複素数 z をすべて求めよ.ただし, i は虚数単位を表す.
2012-10801-0202
(2) |a →| =2 ,| b→ |=2 である 2 つのベクトル a→ , b→ について, a→ +b→ と 2 ⁢a→ +3⁢ b→ が垂直であるとする. a→ と b → のなす角を θ とするとき, cos⁡θ の値を求めよ.
2012-10801-0203
(3) 実数 x , y が条件
0<y < 12 , ∫0y ( 1 1+2⁢ t+ 1 1-2⁢ t ) ⁢dt= x
を満たすとき, y を x を用いて表せ.
2012-10801-0204
(4) 点 ( 1,1 ) を通り,曲線 y =x3 -4⁢x +5 に接する直線の方程式を求めよ.
2012-10801-0205
【2】 次の問いに答えよ.
(1)(ⅰ) 定積分 ∫-π π sin2⁡t ⁢dt , ∫-π π cos2⁡ t⁢dt , ∫ -ππ sin⁡t ⁢cos⁡t ⁢dt を求めよ.
(ⅱ) x ,hy を実数とし,関数 f ⁡(t )=x ⁢sin⁡t +y⁢cos ⁡t に対して,不等式
| ∫- ππ f ⁡(t )⁢cos ⁡t⁢d t|≦ ∫ -ππ {f ⁡(t )} 2⁢d t
が成り立つような点 ( x,y ) の範囲を x y 平面上に図示せよ.
2012-10801-0206
(2)(ⅰ) 関数 f ⁡(x )= 1x ⁢ log⁡( 1+x ) を微分せよ.
(ⅱ) 0<x <y のとき
1 x⁢ log⁡( 1+x) > 1y⁢ log⁡ (1+ y)
が成り立つことを示せ.
(ⅲ) ( 111 ) 110 , ( 113 ) 112 , ( 115 ) 114 を大きい方から順に並べよ.
2012-10801-0207
【3】 0<p ≪1 ,0 <q<1 とする.点 P は以下の(Ⅰ),(Ⅱ)に従って, 1 秒ごとに 2 点 A ,B のいずれかに位置を決定する.
(Ⅰ) P が A にいるとき,確率 p で B に移動し,確率 1 -p で A に留まる.
(Ⅱ) P が B にいるとき,確率 q で A に移動し,確率 1 -q で B に留まる.
P の最初の位置を A とし, P が n 秒後に A にいる確率を an ,B にいる確率を b n とする.ただし, n は自然数とする.
(1) a1 , a2 , b1 , b2 を求めよ.
(2) an+ 1 ,b n+1 を a n と b n を用いて表せ.
(3) an , bn を求めよ.
2012-10801-0208
【4】 行列 X =( ab cd ) に対して
T⁡( X)= a+d ,D⁡ (X) =a⁢d- b⁢c
と定義する. 2 次正方行列 A は T ⁡(A )=4 , D⁡ (A) =5 を満たすとする.また, t を実数とし, E を 2 次の単位行列とする.
(1) T⁡( t⁢A+ E) ,D⁡ (t⁢ A+E ) を t を用いて表せ.
(2) すべての t に対して, t⁢A+ E は逆行列をもつことを示せ.
(3) ( t⁢A+ E) -1 =p⁢A +q⁢E を満たす実数 p , q を t を用いて表せ.
2012-10801-0209
【5】 関数 f ⁡(x ) を
f ⁡(x )=15 ⁢x2 +10⁢x +1+ 1x +log⁡ x
とし,数列 { an } を次のように定める.
a1= 10 ,a n=a n-1 + ∫n-1 nf ⁡(x )⁢ dx ( n=2 ,3 , 4 ,⋯ )
(1) 定積分 ∫1n ( 1x+ log⁡x) ⁢dx を求めよ.
(2) 一般項 a n を求めよ.
(3) 自然数 n に対して bn= a nn+ 1 とおく.このとき,極限
limn →∞. ( bn- bn+ 1 )
を求めよ.ただし,必要ならば limn→ ∞ 1n⁢ log⁡ n=0 を用いてよい.