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2012 愛媛大学 後期

理,工学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の問いに答えよ.

(1)  z3= i となる複素数 z をすべて求めよ.ただし, i は虚数単位を表す.

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【1】 次の問いに答えよ.

(2)  |a | =2 | b |=2 である 2 つのベクトル a b について, a +b 2 a +3 b が垂直であるとする. a b のなす角を θ とするとき, cosθ の値を求めよ.

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【1】 次の問いに答えよ.

(3) 実数 x y が条件

0<y < 12 0y ( 1 1+2 t+ 1 1-2 t ) dt= x

を満たすとき, y x を用いて表せ.

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【1】 次の問いに答えよ.

(4) 点 ( 1,1 ) を通り,曲線 y =x3 -4x +5 に接する直線の方程式を求めよ.

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【2】 次の問いに答えよ.

(1)(ⅰ) 定積分 -π π sin2t dt -π π cos2 tdt -ππ sint cost dt を求めよ.

(ⅱ)  x hy を実数とし,関数 f (t )=x sint +ycos t に対して,不等式

| - ππ f (t )cos td t| -ππ {f (t )} 2d t

が成り立つような点 ( x,y ) の範囲を x y 平面上に図示せよ.

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【2】 次の問いに答えよ.

(2)(ⅰ) 関数 f (x )= 1x log( 1+x ) を微分せよ.

(ⅱ)  0<x <y のとき

1 x log( 1+x) > 1y log (1+ y)

が成り立つことを示せ.

(ⅲ)  ( 111 ) 110 ( 113 ) 112 ( 115 ) 114 を大きい方から順に並べよ.

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【3】  0<p 1 0 <q<1 とする.点 P は以下の(Ⅰ),(Ⅱ)に従って, 1 秒ごとに 2 A B のいずれかに位置を決定する.

(Ⅰ)  P A にいるとき,確率 p B に移動し,確率 1 -p A に留まる.

(Ⅱ)  P B にいるとき,確率 q A に移動し,確率 1 -q B に留まる.

P の最初の位置を A とし, P n 秒後に A にいる確率を an B にいる確率を b n とする.ただし, n は自然数とする.

(1)  a1 a2 b1 b2 を求めよ.

(2)  an+ 1 b n+1 a n b n を用いて表せ.

(3)  an bn を求めよ.

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【4】 行列 X =( ab cd ) に対して

T( X)= a+d D (X) =ad- bc

と定義する. 2 次正方行列 A T (A )=4 D (A) =5 を満たすとする.また, t を実数とし, E 2 次の単位行列とする.

(1)  T( tA+ E) D (t A+E ) t を用いて表せ.

(2) すべての t に対して, tA+ E は逆行列をもつことを示せ.

(3)  ( tA+ E) -1 =pA +qE を満たす実数 p q t を用いて表せ.

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【5】 関数 f (x )

f (x )=15 x2 +10x +1+ 1x +log x

とし,数列 { an } を次のように定める.

a1= 10 a n=a n-1 + n-1 nf (x ) dx n=2 3 4

(1) 定積分 1n ( 1x+ logx) dx を求めよ.

(2) 一般項 a n を求めよ.

(3) 自然数 n に対して bn= a nn+ 1 とおく.このとき,極限

limn ∞. ( bn- bn+ 1 )

を求めよ.ただし,必要ならば limn 1n log n=0 を用いてよい.

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