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2012-10821-0101
2012 高知大学 前期
数学II・数学B 教育学部
数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科 共通問題
配点は教育学部60点,理学部100点
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 不等式 x 2+y 2<1 の表す領域を xy 平面上に図示せよ.
(2) 不等式 | x| +| y| <2 の表す領域を x y 平面上に図示せよ.
(3) 実数 x , y が x 2+y 2<5 をみたすとき, |x |< 3 かつ | y| <3 が成り立つことを示せ.
(4) 任意の実数 x , y に対して, |x |+ |y |≦ 2⁢x 2+y 2 が成り立つことを示せ.
2012-10821-0102
配点は60点
【2】 n を自然数とし, 3 つの不等式 y≦ - xn+ 2 ,x≧ 0, y≧0 をすべてみたす整数の組 ( x,y ) の個数を a n とする.次の問いに答えよ.
(1) a1 , a2 の値を求めよ.
(2) an+ 1 を a n で表せ.
(3) an を n の式で表せ.
(4) Sn= a1+ a2+ ⋯+a n とする.このとき, Sn= 510 となる n を求めよ.
2012-10821-0103
配点60点
【3】 点 O を中心とする半径 1 の円に内接する正十角形の隣り合う頂点を A , B とする.また, ∠OAB の二等分線と直線 OB の交点を C とする.次の問いに答えよ.
(1) ▵ABC と ▵OAB は相似になることを示せ.
(2) 辺 AB の長さを求めよ.
(3) cos⁡ 2⁢π 5 を求めよ.
(4) 半径 1 の円に内接する正五角形の一辺の長さを求めよ.
2012-10821-0104
配点70点
【4】 3 次関数 f⁡ (x) =x3 +a⁢ x2+ b⁢x について次の問いに答えよ.
(1) f⁡( x) が x= α で極大値を, x=β で極小値を持ち, f⁡( α)- f⁡( β)= 4 とする.
(ⅰ) β-α を a , b の式で表せ.
(ⅱ) a ,b の間に成り立つ関係式を求めよ.
(2) 曲線 y =f⁡( x) に点 (0 ,8) から引いた接線の本数がちょうど 2 本あるとする.
(ⅰ) x=t における接線の方程式を求めよ.
(ⅱ) a の値を求めよ.
(3) (1),(2)がともに成り立つとき, 2 本の接線をそれぞれ求めよ.
(4) (3)で求めた 2 本の接線と曲線 y= f⁡( x) とで囲まれる図形の面積を求めよ.
2012-10821-0105
数学I・数学II・数学III・数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科
配点は100点
【2】 各項が正の実数である数列 { an} ( n=1 ,2 ,⋯ ) に対し,第 1 項から第 n 項までの和を S n とおく. an と S n の間に次の関係が成り立っているとする.
Sn= 1 2⁢ an2 + 12 ⁢ an- 1 ( n=1 ,2 ,⋯ )
このとき,次の問いに答えよ.
(1) a1 ,a2 , a3 を求めよ.
(3) 数列 { an} の一般項を求めよ.
2012-10821-0106
【3】 A=( ab cd ) を負でない実数を成分とする行列とし, C を原点を中心とする半径 5 の円とする.円 C 上の任意の点 ( x,y ) に対して ( X Y) =A⁢ ( xy ) で与えられる X , Y は常に 9 ⁢X2 -16⁢ Y2= 0 をみたしているとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) A⁢( 4 3 ) を a , b ,c ,d を用いて表せ.
(2) c=0 のとき, b を d で表せ.
(3) A⁢( 4 3 )=( 4 3 ) となる A を 1 つ求めよ.
2012-10821-0107
数学I・数学II・数学III・
数学A・数学B・数学C 理学部,医学部医学科
【4】 次の問いに答えよ.
(1) 次の不定積分を求めよ.
∫ ⁡log⁡( 1+x) ⁢dx
(2) 関数 f⁡ (x ) が区間 [0 ,1] で連続な増加関数であって,常に f⁡ (x) ≧0 であるものとする.また, n を自然数とする.このとき,次の不等式が成り立つことを示せ.
0≦ 1n⁢ ∑k= 1n ⁡f⁡ ( kn )- ∫ 01⁡ f⁡( x)⁢ dx≦ 1n⁢ {f ⁡(1 )-f ⁡(0 )}
(3) f⁡( x)= log⁡( 1+x ) に対して(2)の結果を用いて,次の極限値を求めよ.
limn→ ∞⁡ [ 1n ⁢{ (1+ 1n )⁢ (1 +2 n) ⁢⋯⁢ (1+ nn ) }]