2012　高知大学　医学科AO入試MathJax

【１】　$1$個のサイコロを$3$回投げて$1$回目に出た目を$a\text{，}2$回目に出た目を$b\text{，}3$回目に出た目を$c$とする．

$s=\sqrt{a+2b+19c}$

に対して，次の設問に答えなさい．

設問１　$s=2\sqrt{6}$となる確率を求めなさい．

設問２　$s=8\sqrt{2}$となる確率を求めなさい．

設問３　$6<s<7$となる確率を求めなさい．

設問４　$s$が整数となる確率を求めなさい．

【２】　$p(k)=\cos ({\displaystyle \frac{2k}{5}}\pi )+i\sin ({\displaystyle \frac{2k}{5}}\pi )$とおく．ただし，$i$は虚数単位$\sqrt{-1}$を表し，$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$とする．このとき，次の設問に答えなさい．

設問１　$(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)=\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)$であることを示しなさい．

設問２　${p(k)}^5=1$であることを示しなさい．

設問３　$p(k)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{）}$は相異なることを示しなさい．

設問４　$(1-p(1))(1-p(2))(1-p(3))(1-p(4))$を求めなさい．

ただし，必要ならば$x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$であることを用いなさい．

【３】　$a\text{，}b$を実数とし，次の多項式$P(x)$を考える．

$P(x)=x^3-(5a-2)x^2+(6a^2-2a+b)x-(6a^2+3ab-4a-2b)$

このとき，次の設問に答えなさい．

設問１　多項式$P(x)$は$x-3a+2$で割り切れることを示し，さらにその商を求めなさい．

設問２　方程式$P(x)=0$の解のうち，$x=3a-2$以外の相異なる$2$つの実数解${\alpha }_1$と${\alpha }_2$が存在し，かつ${\alpha }_1<3a-2<{\alpha }_2$をみたすための必要十分条件を求めなさい．

設問３　方程式$P(x)=0$をみたす実数$x$の個数がちょうど$2$個であるような実数$a$と$b$の組$(a,b)$を座標平面上に図示しなさい．