2012　九州大学　後期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\sin x-x\leqq 0$が成り立つことを示せ．

(2)　$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\sin x-x+a{x}^3\geqq 0$が成り立つような正の数$a$を$1$つ定めよ．

(3)　$0<|x|\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，

$|{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}-1|\leqq a{x}^2$

が成り立つことを示せ．ただし，$a$は(2)で定めた値とする．

(4)　曲線$y=\sin x$と直線$y=x$および$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}$$(a,0,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(0,a,0)\text{，}$$\mathrm{C}$$(0,0,1)$が定める平面を$\alpha$とする．ただし，$a$は正の定数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　平面$\alpha$上の任意の点$\mathrm{P}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}=s\overrightarrow{\mathrm{CA}}+t\overrightarrow{\mathrm{CB}}$を満たす実数$s\text{，}t$が存在する．点$\mathrm{P}$の座標を$a\text{，}s\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　原点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．点$\mathrm{H}$の座標を$a$を用いて表せ．

(3)　$a=1$とする．平面$\alpha$上で点$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円を考え，その円周上に点$\mathrm{Q}$を$\angle \mathrm{QAB}=\theta$となるように取る．ただし，$0<\theta <\pi$とし，点$\mathrm{Q}$の$z$座標は正とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

【３】　$2$個のサイコロを投げて，$xy$平面上の点$\mathrm{P}$を移動させる次の試行を考える．

この試行を繰り返して点$\mathrm{P}$を原点$(0,0)$から順に動かしていくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$1$回目の試行終了後に点$\mathrm{P}$が$(1,0)$に移動している確率を求めよ．

(2)　$2$回目の試行終了時に点$\mathrm{P}$が$(1,1)$に移動している確率を求めよ．

(3)　$n$回目の試行終了時に点$\mathrm{P}$が$(n,n-1)$に移動している確率を求めよ．ただし，$n$は自然数である．

【４】　数列$\{a_n\}$を次式で定義する．

$a_n={\displaystyle {\int }_c^1}n{x}^{n-1}{(\log ({\displaystyle \frac{1}{x}}\left)\right)}^{n}dx$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

ただし，$c$は$0<c<1$を満たす定数とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　数列$\{a_n\}$の初項$a_1$および第$2$項$a_2$を求めよ．

(2)　$0<x\leqq 1$のとき，$0\leqq x\log \left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)<{\displaystyle \frac{1}{2}}$が成り立つことを示せ．

(3)　$a_n<{\displaystyle \frac{n}{2^n}}\log \left({\displaystyle \frac{1}{c}}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$を示せ．

【５】　数直線上に$2$点${\mathrm{X}}_1\text{，}{\mathrm{X}}_2$を取り，それぞれの座標を$a_1$および$a_2$とする．ただし，$0<a_1<a_2$とする．線分${\mathrm{X}}_1{\mathrm{X}}_2$を$s:1-s$に内分する点を${\mathrm{X}}_3\text{，}$線分${\mathrm{X}}_2{\mathrm{X}}_3$を$s:1-s$に内分する点を${\mathrm{X}}_4\text{，}$同様に自然数$k$に対して線分${\mathrm{X}}_k{\mathrm{X}}_{k+1}$を$s:1-s$に内分する点を${\mathrm{X}}_{k+2}$とする．ただし，$0<s<1$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$2$点${\mathrm{X}}_{2n-1}\text{，}{\mathrm{X}}_{2n}$の座標を並べてベクトル$\left(\begin{array}{c}{a}_{2n-1}\\ a_{2n}\end{array}\right)$で表し，

$\left(\begin{array}{c}{a}_{2n+1}\\ a_{2n+2}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{a}_{2n-1}\\ a_{2n}\end{array}\right)$

と書くとき，行列$A$を$s$を用いて表せ．ただし，$n$は自然数である．

(2)　行列$P$を

$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ s-1& 1\end{array}\right)$

とし，行列$B$を$B=P^{-1}AP$とする．行列$B$を求めよ．

(3)　座標$a_{2n+1}$および$a_{2n+2}$を$n\text{，}s\text{，}{a}_1\text{，}{a}_2$を用いて表せ．

(4)　点${\mathrm{X}}_k$の座標$a_k$の極限$\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_k$を求めよ．