2012　九州工業大学　前期MathJax

(ⅰ)　$m=1$となる場合は何通りあるか．

(ⅱ)　$m=2$となる確率を求めよ．

(ⅲ)　$m$の期待値を求めよ．

(ⅳ)　$a_1\leqq a_2\leqq a_3\leqq a_4$となる確率を求めよ．

(ⅰ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ．

(ⅱ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$は平面$\mathrm{ABC}$に垂直であるとする．

(a)　$s$と$\cos \theta$の値を求めよ．

(b)　線分$\mathrm{OG}$と$\mathrm{BC}$の長さ，および$\angle \mathrm{BAC}$を求めよ．

(c)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．

(ⅰ)　$\sin \angle \mathrm{OPB}$と$\sin \angle \mathrm{APB}$を$\alpha$と$x$を用いて表せ．

(ⅱ)　$\sin \angle \mathrm{APB}$を$x$の関数と考え，その関数を$f(x)$とおく．$f(x)$の最大値を$\alpha$を用いて表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた最大値が${\displaystyle \frac{1}{2}}$となる$\alpha$を求めよ．

(ⅰ)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C$と直線$l$および直線$x=-\log 3$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

(ⅲ)　曲線$C$と直線$l$および直線$x=-\log 3$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$における接線$l_1$の方程式を$k\text{，}p$を用いて表せ．

(ⅱ)　点$\mathrm{Q}$における接線$l_2$が点$\mathrm{P}$を通るとき，$a$の値を求めよ．

(ⅲ)　ある$k$に対して$2$つの接線$l_1\text{，}{l}_2$が点$\mathrm{P}$において垂直に交わっているとき，$k$を$p$を用いて表せ．また，そのような$k$が存在する$p$の値の範囲を求めよ．

(ⅳ)　ある$k$に対して$2$つの接線$l_1\text{，}{l}_2$が点$\mathrm{P}$において垂直に交わっているとき，接線$l_2$と曲線$C$によって囲まれた図形の面積$S$を$p$を用いて表せ．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(ⅱ)　四角形$\mathrm{OAPQ}$の面積$S$を$\theta$を用いて表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた$S$が最大となるときの$\sin \theta$の値を求めよ．

(ⅳ)　四角形$\mathrm{OAPQ}$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を$\theta$を用いて表せ．

(ⅴ)　(ⅳ)で求めた$V$が$\sin \theta ={\displaystyle \frac{3}{4}}$で最大となることを示せ．

・点${\mathrm{Q}}_n$を通り直線${\mathrm{Q}}_0{\mathrm{P}}_1$と平行な直線と，直線$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_0$の交点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．

・点${\mathrm{P}}_{n+1}$を通り$y$軸と平行な直線と，$x$軸の交点を${\mathrm{Q}}_{n+1}$とする．

また，$▵{\mathrm{Q}}_{n-1}{\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n$の面積を$S_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$S_1$を$p$を用いて表せ．

(ⅱ)　点${\mathrm{Q}}_{n-1}$の$x$座標を$q$とするとき，点${\mathrm{Q}}_n$の$x$座標を$p\text{，}q$を用いて表せ．

(ⅲ)　$S_n$を$p\text{，}n$を用いて表せ．

(ⅳ)　$n$を定数として，$p$を$0<p<1$の範囲で動かすとき，$S_n$を最大にする$p$とそのときの$S_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．

(ⅴ)　(ⅳ)で求めた$S_n$に対して，$\underset{n\to \infty }{\lim }n{S}_n$を求めよ．必要であれば，自然対数の底$e$について$\underset{h\to 0}{\lim }{(1+h)}^{\frac{1}{h}}=e$が成り立つことを用いてよい．

(ⅰ)　$p_1\text{，}{p}_2$をそれぞれ求めよ．

(ⅱ)　$q_2\text{，}{r}_2$をそれぞれ求め，さらに$p_3$を求めよ．

(ⅲ)　$p_{n+1}$を$r_n$を用いて表せ．

(ⅳ)　$p_{n+3}$を$p_n$を用いて表せ．

(ⅴ)　$p_{3n}$を$n$を用いて表せ．