2012 九州工業大学 後期

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2012 九州工業大学 後期

工学部

配点75点

易□ 並□ 難□

【1】  0 から 4 までの数字が 1 つずつ記入された 5 枚のカードがある.この中から 1 枚ずつ 2 枚のカードを取り出し数字を調べる.取り出したカードは元に戻さない.調べた数字を取り出した順に a b とし,連立不等式

{ yx 2-a yx +b

の表す領域 D に含まれる格子点の個数を m とする.ただし,座標平面上で x y 座標がともに整数である点を格子点という.次に答えよ.

(ⅰ)  a=0 b=2 のとき, m の値を求めよ.

(ⅱ)  m=8 となる確率を求めよ.

(ⅲ)  m の期待値を求めよ.

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工学部

配点75点

易□ 並□ 難□

【2】  t を実数とする.行列 M= 1 t2+ 1 ( 1-t2 2 t2 t t2-1 ) の表す 1 次変換により,座標平面上の原点 O とは異なる点 A (p ,q) が点 B (u ,v) に移される.また S を以下のように定める.

{ O A B が一直線上にあるとき,S= 0 とする O A B が一直線上にないとき,S OAB の面積とする

次に答えよ.

(ⅰ) 線分 OB の長さを p q を用いて表せ.

(ⅱ)  S=0 となるための必要十分条件を t p q を用いて表せ.

(ⅲ)  q=p のとき, S= 35 p 2 となる t の値を求めよ.

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工学部

配点75点

易□ 並□ 難□

【3】  π 4<t <π とする.曲線 C 1:y= sinx 上に点 P (t ,sin t) があり,曲線 C 2:y= cosx 上に点 Q (t +π,cos (t +π) ) がある.曲線 C 1 の点 P における接線を l 1 とし,曲線 C 2 の点 Q における接線を l 2 とするとき,次に答えよ.

(ⅰ) 接線 l1 および接線 l 2 の方程式をそれぞれ t を用いて表せ.

(ⅱ) 接線 l 1 と接線 l 2 の交点の y 座標を f (t ) とする. f( t) を求めよ.

(ⅲ)  t の値が変化するとき,(ⅱ)で求めた f (t ) の最小値を求めよ.

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工学部

配点75点

易□ 並□ 難□

【4】 関数 f (x) =e( -x2 ) と曲線 C: y=f (x ) について,次に答えよ.ただし,対数は自然対数を表し, e は自然対数の底とする.

(ⅰ) 不定積分 log xdx を求めよ.

(ⅱ) 関数 f (x ) について増減,凹凸を調べ,曲線 C の概形をかけ.

(ⅲ) 曲線 C x 軸および 2 直線 x= p x=p +1 p>0 で囲まれる部分を y 軸まわりに 1 回転してできる図形の体積 V ( p) を求めよ.さらに, limp V (p )f (p ) を求めよ.

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情報工学部

易□ 並□ 難□

【1】 座標平面上に 2 つの曲線 C 1:y= logx C2 :y=2 logx がある.ただし,対数は自然対数とし,自然対数の底を e とする.また, 2<e <3 である.以下の問いに答えよ.

(ⅰ) 曲線 C 1 上の点 (a ,loga ) における接線の方程式を求めよ.

(ⅱ) 曲線 C 1 上の点 (a, loga ) における接線が,点 (b ,2 logb ) において曲線 C 2 にも接するとき, a b の値,および,この共通の接線 l の方程式を求めよ.

(ⅲ)  2 つの曲線 C 1 C2 と(ⅱ)で求めた共通の接線 l で囲まれた図形の面積 S を求めよ.

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情報工学部

易□ 並□ 難□

【2】 行列 A= ( ab cd ) a> 0 c>0 d>0 をみたすものとする.また, O を原点とする座標平面上に曲線 C :x2 + y24 =1 3 P (1 ,0) Q (0 ,1) R ( 2 2, 2 2) があり,行列 A が表す移動により,点 P Q R がそれぞれ点 P Q R に移るとき,以下の問いに答えよ.

(ⅰ) 点 P が曲線 C 上にあるとき, a b がみたす関係式を求めよ.

(ⅱ) 点 Q が曲線 C 上にあるとき, b d がみたす関係式を求めよ.

(ⅲ) 点 R が曲線 C 上にあるとき, a b c d がみたす関係式を求めよ.

(ⅳ)  a b c d が(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)で求めた関係式をすべてみたすとき, b c d をそれぞれ a を用いて表せ.

(ⅴ)  a b c d が(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)で求めた関係式をすべてみたし, O R P Q が垂直となるときの行列 A を求めよ.

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情報工学部

易□ 並□ 難□

【3】 次の連立不等式が表す座標平面上の領域を R とする.

{ x+y- 10 x-y -10 2 x-y+1 0 3x+ y+ 32 0

また, 4 つの直線を

l1: x+y- 1=0 l2 :x-y -1=0 l3: 2x- y+1= 0 l4: 3x+ y+ 32= 0

と定める.さらに,点 P (a ,0) を中心とし直線 l 1 と接する円を C とし,このときの l 1 との接点を点 Q とする.ただし, - 12< a<1 をみたすものとする.以下の問いに答えよ.

(ⅰ) 領域 R を図示せよ.

(ⅱ) 点 Q の座標を a を用いて表せ.

(ⅲ) 点 P と直線 l 3 の距離を d 3 とし,点 P と直線 l 4 の距離を d 4 とするとき, d 4d3 の値を求めよ.

(ⅳ) 円 C が領域 R に含まれるとき,円 C の半径が最大となる a の値を求めよ.

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情報工学部

易□ 並□ 難□

【4】 白いカード n 枚と黒いカード m 枚からなる計 n+ m 枚を横一列に並べるときの並べ方の総数を A (n, m) とし,そのうちの黒いカードが隣り合わない並べ方の総数を B (n, m) とする.ただし,同色のカードは区別できないものとし, 2m n+1 をみたすものとする.以下の問いに答えよ.

(ⅰ)  A( n,m) n m を用いて表せ.

(ⅱ)  B( 3,m) =1 をみたす整数 m を求めよ.

(ⅲ)  B( n,2 ) n を用いて表せ.

(ⅳ)  B( n,m) n m を用いて表せ.

(ⅴ) 白いカードの枚数を n= 12 とし,これに m 枚の黒いカードを加えた計 n +m 枚を無作為に横一列に並べるとき,黒いカードが隣り合わない確率を P m とする. Pm 2P m+1 2m 12 をみたす最小の整数 m とそのときの P m をそれぞれ求めよ.