2012　長崎大学　前期MathJax

【１】　四面体$\mathrm{OABC}$において

$\mathrm{OA}=1\text{，}\mathrm{OB}=3\text{，}\mathrm{OC}=2\text{，}$

$\angle \mathrm{AOB}=90\mathrm{°}\text{，}\angle \mathrm{AOC}=\angle \mathrm{BOC}=120\mathrm{°}$

とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　平面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{H}$をとり，$s\text{，}t\text{，}u$を実数として

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$

とおく．このとき，$s+t+u=1$となることを示せ．

(2)　(1)の$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$が平面$\mathrm{ABC}$に垂直であるとき，$s\text{，}t\text{，}u$の値をそれぞれ求めよ．

(3)　平面$\mathrm{OAB}$上に点$\mathrm{K}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{CK}}$が平面$\mathrm{OAB}$に垂直であるとする．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{OK}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$で表し，$\overrightarrow{\mathrm{CK}}$の大きさと四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　$m$を$5$以上の自然数とする．次の不等式が成り立つことを，数学的帰納法によって証明せよ．

$m!>2^m>m^2$

(2)　自然数$n$に対する次の和を求めよ．

$S_n={\displaystyle \frac{1}{1\cdot 3}}+{\displaystyle \frac{1}{2\cdot 4}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 5}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}}$

(3)　(2)で求めた$S_n$について，$S_n<{\displaystyle \frac{3}{4}}$が成り立つことを示せ．

(4)　(2)で求めた$S_n$について，$S_n>{\displaystyle \frac{2}{3}}$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．

【３】　$3$点$\mathrm{P}(4,-5)\text{，}\mathrm{Q}(0,3)\text{，}\mathrm{R}(7,4)$を通る円を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　円$C$の方程式を$x^2+y^2+ax+by+c=0$とおいて，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{S}(-4,0)$を通り，傾き$m$の直線を$l$とする．直線$l$が円$C$と$2$つの交点をもつような傾き$m$の範囲を求めよ．

(3)　傾き$m$が(2)の範囲にあるとき，直線$l$と円$C$の$2$つの交点の中点の軌跡はある円の一部分であることを示し，その軌跡を求めよ．

【４】　$a$を正の定数とする．次の問いに答えよ．

(1)　半径$a$の球面に内接する円柱の高さを$g\text{，}$底面の半径を$r$とする．$r$を$a$と$g$を用いて表せ．

(2)　(1)の円柱で，体積が最大になるときの高さ，およびそのときの底面の半径と体積をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(3)　半径$a$の球面に内接する円$\stackrel{\text{すい}}{\text{錐}}$がある．ただし，円錐の頂点と底面の中心を結ぶ線分は球の中心を通るものとする．円錐の高さを$h\text{，}$底面の半径を$s$とする．$s$を$a$と$h$を用いて表せ．

(4)　(3)の円錐で，体積が最大になるときの高さ，およびそのときの底面の半径と体積をそれぞれ$a$を用いて表せ．

【５】　関数$f(x)=x{e}^{-x^2}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減，極値，グラフの凹凸，および変曲点を調べて，そのグラフをかけ．ただし，$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x^2}=0\text{，}\underset{x\to -\infty }{\lim }x{e}^{-x^2}=0$を用いてよい．

(2)　$y=f(x)$の最大値と最小値，およびそのときの$x$の値を求めよ．

(3)　$t>0$とする．曲線$y=f(x)\text{，}x$軸，および直線$x=t$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めよ．

(4)　(3)で求めた$S(t)$について，$\underset{t\to \infty }{\lim }S(t)$を求めよ．

【６】　次の問いに答えよ．

(1)　$I_1={\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{dx}{x^2+1}}$とする．$x=\tan \theta$とおくことにより，$I_1={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$を示せ．

(2)　(1)の$I_1$を部分積分して，$I_1$と$I_2={\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{3}}}{\displaystyle \frac{dx}{{(x^2+1)}^2}}$の関係式を導き，$I_2$の値を求めよ．

(3)　$t=x+\sqrt{x^2+1}$とおくことにより，不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}}$を求めよ．

(4)　合成関数の微分法を用いて，関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ．

(5)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }\{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}}}\}$を求めよ．

【７】　原点$\mathrm{O}$を中心とし，半径$1$の円を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$y=2$上の点$\mathrm{P}(t,2)$から円$C$に$2$本の接線を引き，その接点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とする．直線$\mathrm{OP}$と弦$\mathrm{MN}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．ただし，$t$は実数とする．

(2)　点$\mathrm{P}$が直線$y=2$上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．

【８】　実数$x\text{，}y$が連立不等式

$\{\begin{array}{ll}{10}^{10}<2^x{3}^y<{10}^{11}& \cdots \text{(A)}\\ {10}^9<3^x{2}^y<{10}^{10}& \cdots \text{(B)}\end{array}$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　連立不等式(A)，(B)が表す$xy$平面上の領域は，どのような図形であるか答えよ．また，その理由を述べよ．

(2)　連立不等式(A)，(B)が満たす実数$x\text{，}y$において，$x+y$がとりうる値の範囲，および$y-x$がとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．

(3)　連立不等式(A)，(B)を満たす整数$x\text{，}y$を考える．このとき，$y-x$が最大となる整数$x\text{，}y$を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}{\log }_{10}3=0.4771$として計算してよい．

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