2012　熊本大学　前期MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(問１)　$k$を整数とするとき，$x$の方程式$x^2-k^2=12$が整数解をもつような$k$の値をすべて求めよ．

(問２)　$x$の方程式$(2a-1)x^2+(3a+2)x+a+2=0$が少なくとも$1$つ整数解をもつような整数$a$の値とそのときの整数解をすべて求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$に対して次の漸化式が成り立つとする．

$a_1=1\text{，}{a}_2=3\text{，}{a}_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n=1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

以下の問いに答えよ．

(問１)　定数$c$に対して$b_n=a_n+c$で定められた数列$\{b_n\}$を考える．

$b_{n+2}-5b_{n+1}+6b_n=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたす$c$の値を求めよ．

(問２)　$a_n$を$n$の式で表せ．

【３】　$f(\theta )=4({\sin }^3{\displaystyle \frac{\theta }{2}}+{\cos }^3{\displaystyle \frac{\theta }{2}})+6(\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}})(\sin \theta -2)-\sqrt{6}(\sin \theta +1)$とおく．ただし，$\theta$の範囲は$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$とする．以下の問いに答えよ．

(問１)　$x=\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$とおくとき，$f(\theta )$を$x$のみの式で表せ．

(問２)　$f(\theta )$の最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【４】　定数$a$は$0<a<1$をみたすとする．曲線$C\text{：}y={(x-1)}^2$と$C$上の点$(a,{(a-1)}^2)$における接線$l$について，以下の問いに答えよ．

(問１)　接線$l$の方程式を求めよ．

(問２)　曲線$C$と接線$l$および$2$直線$x=0\text{，}x=1$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

(問３)　曲線$C$と$2$直線$x=0\text{，}y=0$とで囲まれ，接線$l$の上側にある$2$つの部分の面積の和$T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【２】　実数$c$に対して，行列

$A=\left(\begin{array}{cc}1& -c\\ c& 1\end{array}\right)$

で表される$1$次変換を$T$とするとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$T$は原点の周りの回転移動と原点中心の拡大（掃除変換）との合成変換であることを示せ．

(問２)　$xy$平面上の同一直線上にない$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が$T$によってそれぞれ${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{R}}^{\prime }$に移るとする．三角形${\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }{\mathrm{R}}^{\prime }$の面積が三角形$\mathrm{PQR}$の面積の$2$倍となる$c$の値を求めよ．

(問３)　$c=2$とする．楕円

$E\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$

上の点が$T$によって楕円$E^{\prime }$上の点に移るとする．$E$が$E^{\prime }$の内部にあることを示し，$E^{\prime }$の内部にあり$E$の外部にある部分の面積を求めよ．

【３】　$2$つの関数$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^t(\sin t+\cos t)dt$と$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{e}^t(\cos t-\sin t)dt$について，以下の問いに答えよ．

(問１)　$f(x)$と$g(x)$を求めよ．

(問２)　$f^{(n)}(x)$と$g^{(n)}(x)$をそれぞれ$f(x)$と$g(x)$の第$n$次導関数とする．

(1)　$n\geqq 2$のとき，$f^{(n)}(x)$および$g^{(n)}(x)$を，$f^{(n-1)}(x)$と$g^{(n-1)}(x)$を用いて表せ．

(2)　${\{f^{(n)}(x)\}}^2+{\{g^{(n)}(x)\}}^2$を求めよ．

(3)　実数$a$について，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{\displaystyle \frac{e^{2n}}{{\{f^{(n)}(a)\}}^2+{\{g^{(n)}(a)\}}^2}}$の和を求めよ．

【４】　関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|\sin t-x\cos t|dt\text{（}x>0\text{）}$

とおく．以下の問いに答えよ．

(問１)　$a>0$のとき，$a=\tan \theta$を満たす$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$に対して，$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．

(問２)　$f(x)$を求めよ．

(問３)　$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

【１】　$n\geqq 4$とする．$(n-4)$個の$1$と$4$個の$-1$からなる数列$a_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を考える．以下の問いに答えよ．

(問１)　このような数列$\{a_k\}$は何通りあるか求めよ．

(問２)　数列$\{a_k\}$の初項から第$k$項までの積を$b_k=a_1{a}_2\cdots a_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$とおく．$b_1+b_2+\cdots +b_n$がとり得る値の最大値および最小値を求めよ．

(問３)　$b_1+b_2+\cdots +b_n$の最大値および最小値を与える数列$\{a_n\}$はそれぞれ何通りあるか求めよ．

【２】　実数$c$に対して，行列

$A=\left(\begin{array}{cc}1& -c\\ c& 1\end{array}\right)$

で表される$1$次変換を$T$とするとき，以下の問いに答えよ．

(問１)　$xy$平面上の同一直線上にない$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が$T$によってそれぞれ${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{R}}^{\prime }$に移るとする．三角形${\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }{\mathrm{R}}^{\prime }$の面積が三角形$\mathrm{PQR}$の面積の$k$倍$\text{（}k\geqq 1\text{）}$となる$c$の値を求めよ．

(問２)　楕円

$E\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1$

上の点が$T$によって楕円$E^{\prime }$上の点に移るとする．楕円$E^{\prime }$上のすべての点が楕円$E$の周上または外部にあるための，$c$の条件を求めよ．

【３】　正の定数$a$に対して，関数$f(x)$を

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}|\sin t-ax\cos t|dt$

とおく．以下の問いに答えよ．

(問１)　$f(x)$を求めよ．

(問２)　$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．

【４】　一辺の長さが$\sqrt{2}$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}\text{，}$辺$\mathrm{OC}$の中点を$\mathrm{L}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．以下の問いに答えよ．

(問１)　$3$点$\mathrm{L}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$を通る平面と直線$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(問２)　辺$\mathrm{OB}$の中点$\mathrm{K}$から直線$\mathrm{DN}$上の点$\mathrm{P}$へ垂線$\mathrm{KP}$を引く．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．