2012　大分大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が

$S_n={\displaystyle \frac{3}{2}}{a}_n-n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

をみたす．

(1)　$a_1$を求めなさい．

(2)　$a_2$を求めなさい．

(3)　一般項$a_n$を求めなさい．

【２】　円周上の点$\mathrm{A}$における円の接線上に点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{P}$を通る直線が点$\mathrm{P}$から近い順に$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$で円と交わっている．$\angle \mathrm{APB}$の二等分線と線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$との交点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$とする．$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=r:1-r$とおき，$\mathrm{BD}=s\text{，}\mathrm{CE}=t$とおく．ただし，$0<r<1$とする．

(1)　線分$\mathrm{AD}$の長さを$r$と$s$で表しなさい．

(2)　$\mathrm{PB}:\mathrm{PC}=2:3$となるとき，$r$の値を求めなさい．

(3)　(2)のとき，線分$\mathrm{AE}$の長さを$t$で表しなさい．

【３】　曲線$C\text{：}y=x^2+px+q$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$x$座標$t$が正である曲線$C$上の点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線を$l$とする．曲線$C\text{，}$接線$l$および$y$軸で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，曲線$C$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．

(1)　$l$の方程式を求めなさい．

(2)　$S_1$を$t$で表しなさい．

(3)　$S_1:S_2$を求めなさい．

【４】　$t$を実数とし，点$\mathrm{P}$の座標を$(t,-t^2)$とする．点$\mathrm{P}$と直線$l_1\text{：}2x+y+3=0$の距離を$d_1$とし，点$\mathrm{P}$と直線$l_2\text{：}2x-y+4=0$の距離を$d_2$とする．また，$d=d_1+d_2$とおく．

(1)　$t=2$のとき，$d$の値を求めなさい．

(2)　点$\mathrm{P}$が直線$l_1$上またはその上側にあるための$t$の条件を求めなさい．

(3)　(2)のとき，$d$の最小値とそのときの$t$の値を求めなさい．

【４】　$I_1={\displaystyle {\int }_0^3}\sqrt{x^2+9}dx\text{，}{I}_2={\displaystyle {\int }_0^3}{\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}}$とする．

(1)　次の等式がすべての実数$x$について成り立つように，定数$a\text{，}b$の値を定めなさい．

${\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{x^2+9}}}=a\sqrt{x^2+9}+{\displaystyle \frac{b}{\sqrt{x^2+9}}}$

(2)　$I_1$において部分積分することにより，$I_1$を$I_2$で表しなさい．

(3)　$\log (x+\sqrt{x^2+9})$の導関数を利用して，$I_2$を求めなさい．

(4)　曲線$x^2-y^2=-9$と直線$y=3\sqrt{2}$で囲まれた部分の面積$S$を求めなさい．

【１】　次の各問いに答えよ．

(1)　実数係数の二次方程式$x^2+2bx+c=0$の解を$\alpha \text{，}\beta$とする．この方程式が異なる$2$つの実数解を持たないとき，$\alpha +\beta +\alpha \beta$の最小値を求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(2)　${\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{3}}$が無理数であることを示せ．

【１】　次の各問いに答えよ．

(3)　動点$\mathrm{P}$が現在$x$軸上の原点にある．コイン$1$個とサイコロ$1$個を同時に投げ，コインが表であれば点$\mathrm{P}$はサイコロの目の数だけ正の方向に進み，コインが裏であればサイコロの目にかかわらず負の方向に$2$だけ進む．この試行を$3$回続けて行ったとき，点$\mathrm{P}$が原点にある確率を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{OAB}$で$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=1\text{，}\angle \mathrm{AOB}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　三角形$\mathrm{OAB}$の外接円の中心（外心）$\mathrm{Q}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　頂点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}$からそれぞれの対辺$\mathrm{AB}$と$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の交点（垂心）を$\mathrm{H}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

(3)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$の値を求めよ．

(4)　三角形$\mathrm{OAB}$の内接円の中心（内心）$\mathrm{P}$の位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

【３】　関数$y=f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}$に関して，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$と$y=x$のグラフを描け．

(2)　$1<x_0<{\displaystyle \frac{3}{2}}$に対して，$x_{n+1}=f(x_n)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を定義する．このとき，$x_n>x_{n+1}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(3)　数列$\{a_n\}$が単調減少で，ある実数$L$に対して$a_n>L\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$ならば$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$が存在する．このことを用いて，数列$\{x_n\}$の極限を求めよ．