2012　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　全ての面が合同な三角形である四面体$\mathrm{OABC}$を考える．この四面体について

$\mathrm{OA}=\sqrt{3}\text{，}\mathrm{OB}=2\text{，}\mathrm{OC}=\sqrt{5}$

とする．

(1)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$をそれぞれ求めよ．

(2)　点$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．

(3)　四面体$\mathrm{OABC}$の体積を求めよ．

【２】　箱の中に$1\text{，}2\text{，}3$の数字が書かれたカードが$1$枚ずつ，合計で$3$枚入っている．また箱の外に$1$が書かれたカードを$2$枚，$2$が書かれたカードを$1$枚用意しておく．いま，箱の中からカードを$1$枚取り出し，外にあるカード$1$枚と交換して箱に戻すという試行を考える．ただし，交換は以下のルールで行う．

・取り出されたカードが$1$の場合は，交換せずに箱に戻す．

・それ以外の場合は，取り出したカードに書かれている数字より$1$小さい数の書かれているカードと交換し，箱に戻す．

第$k$回目の試行の後に，箱の中のカードに書かれてある数字が，$1\text{，}m\text{，}n$（ただし$1\leqq m\leqq n\leqq 3$とする）となる確率を$p_{1,m,n}(k)$と書く．ただし$k$は自然数とする．

(1)　$p_{1,1,2}(k)$および$p_{1,1,3}(k)$を$k$を用いて表せ．

(2)　$0<q<1$に対して${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}k{q}^{k-1}$および${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}{k}^2{q}^{k-1}$を$q$を用いて表せ．ただし$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{q}^n=0$であることは用いてよい．

(3)　箱の中のカードに書かれてある数字が，第$k$回目の試行の後で初めて全て$1$となる確率を$r_k$とする．このとき${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }}k{r}_k$を求めよ．

【３】　$a\text{，}b\text{，}p\text{，}q$を実数（ただし$p\ne 0$）とし，行列$X$を

$X=\left(\begin{array}{cc}p& -q\\ q& p^{-1}\end{array}\right)$

で定義する．また，命題$\mathrm{P}(a,b)$を「$X^2-aX+bE=O$をみたす$p$と$q$が存在する」とする．ただし$E$は$2$次の単位行列，$O$は$2$次の零行列とする．

(1)　命題$\mathrm{P}(a,b)$が真となる条件を$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　$n$を自然数としたとき，命題$\mathrm{P}(a,b)$が真となる整数の組$(a,b)$で，$|a|\leqq n$かつ$|b|\leqq n$となるものの個数を，$n$を用いて表せ．

【４】　$a$を実数とする．また，関数$f(x)$を$x>1$の範囲において

$f(x)=x^{-a}\{\log (x+1)-\log (x-1)\}$

で定義する．

(1)　関数$f(x)$が単調減少であるための$a$の条件を求めよ．

(2)　級数${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }}f(n)$が正の無限大に発散するような$a$の条件を求めよ．