2012 公立はこだて未来大学 前期

Mathematics

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2012 公立はこだて未来大学 前期

必須問題

配点60点

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.

問1  a b を正の実数とするとき,不等式 a+ b2 ab が成り立つことを示せ.また,等号が成り立つのは,どのようなときか.

問2  p q 1 より大きい実数とするとき, logp q+4 logq p の最小値を求めよ.また,その最小値をとるのは, p q がどのような関係をみたすときか.

2012 公立はこだて未来大学 前期

必須問題

配点60点

易□ 並□ 難□

【2】 以下の問いに答えよ.

問1  |x+ y+1| 3 で定まる座標平面の領域を D とする. D を図示せよ.

問2 方程式 y =(-1 + 1a ) x で与えられる直線 l と,問1で定めた領域 D の共通部分として与えられる線分を考える.この線分の長さの最小値を求めよ.また,線分の長さが最小となるときの直線 l は,どのような方程式で与えられるか.ただし, a 0 でない定数とする.

2012 公立はこだて未来大学 前期

必須問題

配点60点

易□ 並□ 難□

【3】 関数 f (x )= x2- x-2 によって,方程式 y =f( x) と表される放物線 P について,以下の問いに答えよ.

問1 放物線 P 上の点 ( 0,-2 ) における,放物線 P の接線の方程式を求めよ.

問2 放物線 P を,原点に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ.

問3 問1で求めた接線と,問2で求めた放物線で囲まれた部分の面積を求めよ.

2012 公立はこだて未来大学 前期

数学II・数学B 選択問題

配点60点

易□ 並□ 難□

【1】 座標平面において,原点 O を中心とし半径が 1 の円 C を考える.円 C 上に,点 P (- 12 , 3 2 ) Q ( 0,1 ) R ( 12 , 3 2 ) をとる.以下の問いに答えよ.

問1  3 P Q R を通る放物線の方程式を求めよ.

問2 問1で求めた放物線と,線分 OP 線分 OR で囲まれた部分の面積を求めよ.

問3 問2で求めた部分の面積は,点 Q が弧の上にある扇形 OPR の面積より小さい.このことを用いて,円周率 π に対して π >3.13 が成り立つことを示せ.ただし, 3< 1.733 であることを用いてよい.

2012 公立はこだて未来大学 前期

数学I・数学II・数学A・数学B 選択問題

配点60点

易□ 並□ 難□

【2】 第 1 象限において,方程式 x2+ y2= 1 で与えられる図形を C で表す.方程式 xa + yb= 1 で与えられる直線を l で表す.ただし, a b は正の定数とする.以下の問いに答えよ.

問1  b<1 のとき,図形 C と直線 l が共有点を持たないような a の範囲を求めよ.

問2  b>1 のとき,図形 C と直線 l が共有点を持たないのは, a b がどのような関係をみたすときか.

2012 公立はこだて未来大学 前期

数学III 選択問題

配点60点

易□ 並□ 難□

【1】 以下の問いに答えよ.

問1  2 つの行列 M =( pq rs ) N =( pr qs ) が,

M( 0 -1 10 ) N=( 0- 11 0 )

を満たすのは, p q r s の間にどのような関係が成り立つときか.

問2 行列 M =( pq rs ) が,問1で求めた関係をみたしているとする.行列 M の表す 1 次変換による,点 A ( q,-p ) の像を点 C B ( s,-r ) の像を点 D とする.座標平面の原点を O とするとき,三角形 OCD の面積を求めよ.

2012 公立はこだて未来大学 前期

数学III 選択問題

配点60点

易□ 並□ 難□

【2】 原点 O を中心とする半径 1 の円において扇形 OAB を考える.ただし,点 A ( 1,0 ) であり,点 B は第 1 象限にあるとする.扇形 OAB の中心角は, x ラジアン (0< x< π2 ) であるとする.点 B から OA におろした垂線を BC A における円の接線が,点 O と点 B を通る直線と交わる点を D とする.以下の問いに答えよ.

問1 三角形 ODA 三角形 OAB 扇形 OAB の面積を, x を用いてそれぞれ表せ.

問2 不等式 cos x< sin xx <1 が成り立つことを示せ.

問3  limx +0 sinx x=1 を示せ.ただし, x+ 0 は, x が正の値を取りながら限りなく 0 に近くことを表す.