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2012-11031-0101
2012 公立はこだて未来大学 前期
必須問題
配点60点
易□ 並□ 難□
【1】 以下の問いに答えよ.
問1 a と b を正の実数とするとき,不等式 a+ b≧2⁢ a⁢b が成り立つことを示せ.また,等号が成り立つのは,どのようなときか.
問2 p と q を 1 より大きい実数とするとき, logp ⁡q+4 ⁢logq ⁡p の最小値を求めよ.また,その最小値をとるのは, p と q がどのような関係をみたすときか.
2012-11031-0102
【2】 以下の問いに答えよ.
問1 |x+ y+1| ≦3 で定まる座標平面の領域を D とする. D を図示せよ.
問2 方程式 y =(-1 + 1a )⁢ x で与えられる直線 l と,問1で定めた領域 D の共通部分として与えられる線分を考える.この線分の長さの最小値を求めよ.また,線分の長さが最小となるときの直線 l は,どのような方程式で与えられるか.ただし, a は 0 でない定数とする.
2012-11031-0103
【3】 関数 f ⁡(x )= x2- x-2 によって,方程式 y =f⁡( x) と表される放物線 P について,以下の問いに答えよ.
問1 放物線 P 上の点 ( 0,-2 ) における,放物線 P の接線の方程式を求めよ.
問2 放物線 P を,原点に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求めよ.
問3 問1で求めた接線と,問2で求めた放物線で囲まれた部分の面積を求めよ.
2012-11031-0104
数学II・数学B 選択問題
【1】 座標平面において,原点 O を中心とし半径が 1 の円 C を考える.円 C 上に,点 P (- 12 , 3 2 ) , 点 Q ( 0,1 ), 点 R ( 12 , 3 2 ) をとる.以下の問いに答えよ.
問1 3 点 P ,Q , R を通る放物線の方程式を求めよ.
問2 問1で求めた放物線と,線分 OP , 線分 OR で囲まれた部分の面積を求めよ.
問3 問2で求めた部分の面積は,点 Q が弧の上にある扇形 OPR の面積より小さい.このことを用いて,円周率 π に対して π >3.13 が成り立つことを示せ.ただし, 3< 1.733 であることを用いてよい.
2012-11031-0105
数学I・数学II・数学A・数学B 選択問題
【2】 第 1 象限において,方程式 x2+ y2= 1 で与えられる図形を C で表す.方程式 xa + yb= 1 で与えられる直線を l で表す.ただし, a と b は正の定数とする.以下の問いに答えよ.
問1 b<1 のとき,図形 C と直線 l が共有点を持たないような a の範囲を求めよ.
問2 b>1 のとき,図形 C と直線 l が共有点を持たないのは, a と b がどのような関係をみたすときか.
2012-11031-0106
数学III 選択問題
問1 2 つの行列 M =( pq rs ) と N =( pr qs ) が,
M⁢( 0 -1 10 )⁢ N=( 0- 11 0 )
を満たすのは, p ,q , r ,s の間にどのような関係が成り立つときか.
問2 行列 M =( pq rs ) が,問1で求めた関係をみたしているとする.行列 M の表す 1 次変換による,点 A ( q,-p ) の像を点 C , 点 B ( s,-r ) の像を点 D とする.座標平面の原点を O とするとき,三角形 OCD の面積を求めよ.
2012-11031-0107
【2】 原点 O を中心とする半径 1 の円において扇形 OAB を考える.ただし,点 A は ( 1,0 ) であり,点 B は第 1 象限にあるとする.扇形 OAB の中心角は, x ラジアン (0< x< π2 ) であるとする.点 B から OA におろした垂線を BC , 点 A における円の接線が,点 O と点 B を通る直線と交わる点を D とする.以下の問いに答えよ.
問1 三角形 ODA , 三角形 OAB , 扇形 OAB の面積を, x を用いてそれぞれ表せ.
問2 不等式 cos ⁡x< sin ⁡xx <1 が成り立つことを示せ.
問3 limx →+0 sin⁡x x=1 を示せ.ただし, x→+ 0 は, x が正の値を取りながら限りなく 0 に近くことを表す.