2012　青森公立大学　前期MathJax

【１】　$a$を定数として，次の関数

$f(x)=-{\cos }^{2}x-2a\sin x+2a^2+a+1$

を考える．ただし，定義域を$0\mathrm{°}\leqq x\leqq 180\mathrm{°}$とする．

問題１　$f(x)$の最小値$m$を$a$を用いて表せ．

問題２　$m=7$のときの$a$の値を求めよ．

【２】　一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．右図のように，正方形の辺を構成する線分$\mathrm{AB}$が，$\mathrm{B}$を中心に正方形の内部に向けて回転し，回転後の$\mathrm{A}$に相当する点を${\mathrm{A}}^{\prime }$とする．同様に線分$\mathrm{BC}$は$\mathrm{C}$を，線分$\mathrm{CD}$は$\mathrm{D}$を，線分$\mathrm{DA}$は$\mathrm{A}$を中心に正方形の内部に向けて回転し，それぞれ回転後の$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$に相当する点を${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{D}}^{\prime }$とする．全ての線分の回転角度は等しく，その角度を$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 45\mathrm{°}$とする．小さな正方形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }$の一辺の長さを$x\text{，}$その面積を$S$とするとき，以下の問いに答えよ．

問題１　$p$と$q$を実数として，面積$S$が以下のように表せるとき，$p$と$q$の値を求めよ．

$S=p+q(\sin \theta +\cos \theta )$

問題２　$\sin \theta +\cos \theta =\alpha$として，$\sin \theta \cos \theta$を$\alpha$を用いて表せ．

問題３　$\sin \theta$を$S$を用いて表せ．

問題４　$a\text{，}b$を有理数として$x=\sqrt{a}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{b}$とおくとき，面積$S$が$2-\sqrt{3}$となる$a\text{，}b$の値を求めよ．

問題５　問題４のときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　$1$つのさいころを$3$回投げる．出た目の数の最大値を$X$とする．

問題１　$X\leqq 4$となる確率および$X\leqq 3$となる確率をそれぞれ求めよ．

問題２　$X=k$となる確率を$k$で表せ．ただし，$k$は$1$以上$6$以下の自然数である．

問題３　$X$の期待値を求めよ．

【４】　$n\text{，}m$を自然数とする．ただし$n\geqq 2$とする．このとき各設問の命題の真偽を調べよ．

問題１　$n=4m+1$ならば，$2^{n-1}-1$は$5$の倍数である．

問題２　$2^{n-1}-1$が$5$の倍数であるならば，$n=4m+1$である．