2012 宮城大学 前期

Mathematics

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2012 宮城大学 前期

事業構想(デザイン情報学科),食産業学部

易□ 並□ 難□

【1】 次の空欄 から にあてはまる数や式を,解答欄に書きなさい.

  2 つの曲線

Cy =x3 +a x2 D y=a ( x-b) 2 a b0

について,点 P C D の交点とし, P x 座標を p とする.

  P における C の接線の方程式は

y=( ) x+

で, P における D の接線の方程式は

y=( ) x+

である.

 また, C D P で接するとき, b p a を用いて表せば,

b= p=

となる.

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事業構想(デザイン情報学科),食産業学部

易□ 並□ 難□

【2】 次の空欄 から にあてはまる数や式を,解答欄に書きなさい.

  x が範囲 0 x<2 π を動くとき, x の関数 f (x )=2 sinx +cos2 x+1 を考える.

  X=sin x とおき, f( x) X の関数と見て g (X ) と書くと,

g( X)= X2+ X+

と書ける.

  x 0 x<2 π を動くから, X X を動くが,この範囲では,グラフの形より, g( X) X= のとき最小値 をとり, X= のとき最大値 をとる.

 したがって, f( x)= 2sin x+cos 2x +1 x = のとき最小値 をとり, x= または のとき最大値 をとる.

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易□ 並□ 難□

【3】 次の空欄 から にあてはまる数や式を,解答欄に書きなさい.

  O を原点とする座標空間において, 3

A( 1a ,0 ,0) B (0 , 1b, 0) C (0,0 , 1c )

a b c>0 )をとる.平面 ABC 上に点 H をとり, AH =t AB +u AC t u は定数)とおく.

 このとき,

OH AB = OH AC =

となる.

 したがって, OH が平面 ABC に垂直であるとすると, H の座標は

( , , )

となる.また,このとき AH BC = となる.

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易□ 並□ 難□

【4】 数直線上の点 P を,サイコロを投げ,偶数の目が出たら正の方向に出た目の数だけ動かし,奇数の目が出たら負の方向に出た目の数だけ動かす. P を最初原点 0 に置き,サイコロを 2 回投げたとき, P の位置する場所について,次の問いに答えよ.ただし,サイコロは 1 から 6 までのどの目も同じ確率で出るものとする.

(1)  P が位置する可能性がある点(存在する確率が正の点)をすべて書け.

(2)  P が位置する可能性がもっとも高い点を求めよ.

(3)  P の座標の期待値を求めよ.