2012　秋田県立大学　前期MathJax

【１】　放物線$y=-2x^2+mx+m^2$の頂点を$\mathrm{A}\text{，}$放物線と$x$軸との$2$つの共有点のうち，$x$座標の値が小さい方を$\mathrm{B}\text{，}$大きい方を$\mathrm{C}$とするとき，以下の設問(1)〜(4)に答えよ．ただし，定数$m$は$m>0$の実数とする．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)　頂点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．

(2)　$2$つの共有点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$で囲まれた領域（境界線を含む）を，実数$a\text{，}b\text{，}c$を用いて$0\leqq y\leqq a|x-b|+c$のように表すとき，$a\text{，}b\text{，}c$を$m$を用いて表せ．

(4)　$▵\mathrm{ABC}$に内接し，$1$辺が$x$軸上にある長方形の面積の最大値を求めよ．

【２】　関数$y=4\sin 2x+3\cos 2x$について，以下の設問(1)〜(4)に答えよ．ただし，設問(2)〜(4)において，$x$の範囲は$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．設問(1)は解答のみでよく，設問(2)〜(4)は解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)　関数$y$の周期を求めよ．

(2)　$y=0$となるときの$\tan x$の値を求めよ．

(3)　関数$y$の最大値と最小値を求めよ．

(4)　関数$y$が最大値をとるときの$x$の値を$\theta$とする．このとき，$\theta$は不等式${\displaystyle \frac{\pi }{8}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たすことを示せ．

【３】　以下の設問(1)〜(5)に答えよ．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)　関数$x=0.1t$の導関数${\displaystyle \frac{dx}{dt}}$を求めよ．

(2)　関数$y=(1+x)e^{-x}$の導関数${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$を求めよ．

(3)　関数$y=(1+x)e^{-x}$において，$x$が$t$の関数として$x=0.1t$で表されるとき，関数$y$の導関数${\displaystyle \frac{dy}{dt}}$を求めよ．ただし，結果が$t$のみの関数となるように表せ．

(4)　数直線上を運動する点$\mathrm{P}$の速度$v$が，時刻$t\text{（}t\geqq 0\text{）}$の関数として，$v(t)=100\{1-(1+0.1t)e^{-0.1t}\}$で表されるとき，点$\mathrm{P}$の時刻$t$における加速度$\alpha (t)$を求めよ．

(5)　(4)で求めた加速度$\alpha (t)$の増減を調べることにより，$\alpha (t)$の最大値と，最大値をとるときの時刻を求めよ．また，関数$\alpha (t)$のグラフの変曲点を求めよ．

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$の表す$1$次変換を$f$とする．また，点$(1,0)$を点$({\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{2}{5}})$に，点$(0,1)$を点$({\displaystyle \frac{2}{5}},{\displaystyle \frac{1}{5}})$に移す$1$次変換を$g$とする．このとき，以下の設問(1)〜(5)に答えよ．各設問とも，解答とともに導出過程も記述せよ．

(1)　行列$A$の逆行列が存在するかどうかを調べよ．存在するならば逆行列を求めよ．

(2)　$A^4$を求めよ．

(3)　$1$次変換$g$による点$(5,10)$の像を求めよ．

(4)　合成変換$g\circ g$による点$(1,0)$ の像を求めよ．

(5)　合成変換$g\circ (f\circ (f\circ g))$を表す行列を求めよ．