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2012 会津大学 前期

易□ 並□ 難□

【1】 (1)の問いに答えよ.また,(2)から(5)までの空欄をうめよ.

(1) 次の積分を求めよ.

(ⅰ)  14 xdx =

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【1】 (1)の問いに答えよ.また,(2)から(5)までの空欄をうめよ.

(1) 次の積分を求めよ.

(ⅱ)  0π2 sin2 x cosx dx=

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【1】 (1)の問いに答えよ.また,(2)から(5)までの空欄をうめよ.

(2)  2 つのベクトル a= (1, 3) b = (2, -1) に対して, |a +t b | t = のとき,最小値 をとる.

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【1】 (1)の問いに答えよ.また,(2)から(5)までの空欄をうめよ.

(3)  0θ π において sin 2θ -2cos θ=0 のとき, θ= である.

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【1】 (1)の問いに答えよ.また,(2)から(5)までの空欄をうめよ.

(4) 不等式 log3 (2 x-3) <2 をみたす x の値の範囲は である.

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【1】 (1)の問いに答えよ.また,(2)から(5)までの空欄をうめよ.

(5)  4 つの袋があり,各袋に赤,青,黄の玉が 1 つずつ入っている.各袋から 1 つずつ玉を取り出すとき,取り出した 4 つの玉がすべて同じ色である確率は であり, 2 種類の色である確率は である.

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【2】  OAB において, OA =a OB =b とする.辺 OA 1 :3 に内分する点を C とし,辺 OB 4 :1 に内分する点を D とする.線分 AD と線分 BC の交点を E とする.このとき,以下の空欄をうめよ.

(1)  AE:ED= s:( 1-s ) とおくとき, OE a b s を用いて表すと,

OE =

である.

(2)  BE:EC= t:( 1-t ) とおくとき, OE a b を用いて表すと,

OE =

である.

(3) (1)と(2)を比較して s t を求め, OE a b を用いて表すと,

OE =

である.

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【3】 数列 { an } の初項 a 1 から第 n 項までの話 a n が,

Sn =n-2 -an n=1 2 3

であるとき,以下の空欄をうめよ.

(1)  a1 =S1 = であり, a2 =S2 -S1 = である.

(2)  an+ 1 a n の式で表すと, an+ 1= である.

(3)  an n の式で表すと, an = である.

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【4】 曲線 C y=log x-1 の接線で原点を通るものを l とする.このとき,以下の空欄をうめよ.

(1)  C x 軸の共有点の座標は である.

(2)  C l の接点の座標は である.

(3)  C x 軸および l で囲まれた部分の面積を S とすると, S= である.

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【5】 連立不等式

{ x2 +y2 -10 x+y- 10 x+2 y-1 0

の表す領域を D とする. D を図示せよ.また,その結果を用いて,点 ( x,y ) が領域 D 内を動くときの 2 x+y のとる値の最大値と最小値を求めよ.

(結論に至る過程も記述すること.)

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【6】  a b を実数として, 2 次の正方行列 A

A=( a a-b 0b )

と定める.自然数 n に対して A n を推測し,それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ,

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