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2012-11141-0101
2012 会津大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 (1)の問いに答えよ.また,(2)から(5)までの空欄をうめよ.
(1) 次の積分を求めよ.
(ⅰ) ∫ 14 x⁢dx = イ
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(ⅱ) ∫ 0π2 sin2 ⁡x⁢ cos⁡x⁢ dx= ロ
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(2) 2 つのベクトル a→= (1, 3) ,b →= (2, -1) に対して, |a →+t ⁢b→ | は t = ハ のとき,最小値 ニ をとる.
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(3) 0≦θ ≦π において sin ⁡2⁢θ -2⁢cos ⁡θ=0 のとき, θ= ホ である.
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(4) 不等式 log3⁡ (2⁢ x-3) <2 をみたす x の値の範囲は ヘ である.
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(5) 4 つの袋があり,各袋に赤,青,黄の玉が 1 つずつ入っている.各袋から 1 つずつ玉を取り出すとき,取り出した 4 つの玉がすべて同じ色である確率は ト であり, 2 種類の色である確率は チ である.
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【2】 ▵OAB において, OA→ =a→ , OB→ =b→ とする.辺 OA を 1 :3 に内分する点を C とし,辺 OB を 4 :1 に内分する点を D とする.線分 AD と線分 BC の交点を E とする.このとき,以下の空欄をうめよ.
(1) AE:ED= s:( 1-s ) とおくとき, OE→ を a→ , b→ , s を用いて表すと,
OE→ = イ
である.
(2) BE:EC= t:( 1-t ) とおくとき, OE→ を a→ , b→ を用いて表すと,
OE→ = ロ
(3) (1)と(2)を比較して s , t を求め, OE→ を a→ , b→ を用いて表すと,
OE→ = ハ
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【3】 数列 { an } の初項 a 1 から第 n 項までの話 a n が,
Sn =n-2 -an ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
であるとき,以下の空欄をうめよ.
(1) a1 =S1 = イ であり, a2 =S2 -S1 = ロ である.
(2) an+ 1 を a n の式で表すと, an+ 1= ハ である.
(3) an を n の式で表すと, an = ニ である.
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【4】 曲線 C :y=log ⁡x-1 の接線で原点を通るものを l とする.このとき,以下の空欄をうめよ.
(1) C と x 軸の共有点の座標は イ である.
(2) C と l の接点の座標は ロ である.
(3) C と x 軸および l で囲まれた部分の面積を S とすると, S= ハ である.
2012-11141-0110
【5】 連立不等式
{ x2 +y2 -1≦0 x+y- 1≦0 x+2 ⁢y-1 ≧0
の表す領域を D とする. D を図示せよ.また,その結果を用いて,点 ( x,y ) が領域 D 内を動くときの 2 ⁢x+y のとる値の最大値と最小値を求めよ.
(結論に至る過程も記述すること.)
2012-11141-0111
【6】 a ,b を実数として, 2 次の正方行列 A を
A=( a a-b 0b )
と定める.自然数 n に対して A n を推測し,それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ,