2012　福島県立医科大学　前期MathJax

【１】　以下の各問いに答えよ．

(1)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -6& 6\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$について，$AX=XB\text{，}{X}^{-1}=X$を満たす行列$X$をすべて求めよ．

【１】　以下の各問いに答えよ．

(2)　$\mathrm{OC}$と$\mathrm{AB}$が平行である台形$\mathrm{OABC}$があって，$\mathrm{OA}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1\text{，}\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\text{，}\angle \mathrm{AOC}>{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たしているものとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}\text{，}\angle \mathrm{AOC}=\theta$として，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\cos \theta$の値を求めよ．また，$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(ⅱ)　点$\mathrm{B}$から対角線$\mathrm{AC}$に垂線を下ろし，垂線と$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．${\displaystyle \frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AH}}}$を求めよ．

【２】　以下の各問いに答えよ．

(1)　$e$は自然対数の底とし，$a$は正の実数とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$x>0$で定義された関数$f(x)=a\log x-x$の増減を調べ，極値を求めよ．

(ⅱ)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^n{e}^{-2x}=0$を示せ．

(ⅲ)　極限値$\underset{x\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^x}{t}^2{e}^{-2t}dt$を求めよ．

【２】　以下の各問いに答えよ．

(2)　$0<t<\pi$とする．曲線$C\text{：}y=\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}\text{（}0\leqq x\leqq \pi \text{）}$上の点$\mathrm{P}(t,\sin {\displaystyle \frac{t}{2}})$における$C$の接線を$l_1\text{，}$点$\mathrm{P}$と原点を通る直線を$l_2$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　接線$l_1$と$x$軸との交点の$x$座標を$t$を用いて表せ．

(ⅱ)　$j=1\text{，}2$について，直線$l_j\text{，}x$軸および直線$x=t$で囲まれた三角形を$x$軸のまわりに回転させてできた円錐の体積を$V_j$とする．また，曲線$C\text{，}x$軸および直線$x=t$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転させてできた回転体の体積を$V$とする．$V_1\text{，}{V}_2$および$V$を$t$を用いて表せ．

(ⅲ)　極限値$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\theta -\sin \theta }{{\theta }^2}}$を求めよ．ただし，$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin \theta }{\theta }}=1$は利用してよい．

【３】　$n$は自然数とする．$3$次方程式$x^3-3x^2-27x-27=0$の$3$つの解$a\text{，}b\text{，}c$について，$p_n=a^n+b^n+c^n$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$は$3$つの異なる実数であることを示せ．

(2)　$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{p}_3$の値を求めよ．

(3)　$p_{n+3}$を$p_n\text{，}{p}_{n+1}$および$p_{n+2}$を用いて表せ．

(4)　$p_n$は$3^n$の倍数であることを示せ．

【４】　自然数を自然数に移す関数$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{n}{2}}& \text{（}n\text{が偶数のとき）}\\ n+1& \text{（}n\text{が奇数のとき）}\end{array}$について，$f$が$m$を$n$に移すことを，$m\stackrel{f}{⟼}n$と表す．例えば，

$2\stackrel{f}{⟼}1\text{，}3\stackrel{f}{⟼}4\stackrel{f}{⟼}2\stackrel{f}{⟼}1$

である．$2$以上の自然数$n$を$f$で繰り返し移すとき，$1$に移るまでに必要な最小の移動回数を$a_n$とする．したがって，$a_2=1\text{，}{a}_3=3$である．$n$を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_{2n+1}$と$a_{2n+2}$をそれぞれ$a_{n+1}$を用いて表せ．

(2)　数列$\{a_2,a_3,a_4,\cdots \}$を次のように，第$n$項の項数が$2^{n-1}$になるように分ける．

$a_2|a_3,a_4|a_5,a_6,a_7,a_8|a_9,a_{10},a_{11},a_{12},a_{13},a_{14},a_{15},a_{16}|\cdots$

(ⅰ)　第$n$群の初項を$n$を用いて表せ．

(ⅱ)　第$n$群の総和を$S_n$とする．$S_{n+1}$を$n$と$S_n$を用いて表せ．また，$S_n$を$n$を用いて表せ．

(ⅲ)　${\displaystyle \sum _{k=2}^{2^n}}{a}_k$を$n$を用いて表せ．