2012　前橋工科大学　前期MathJax

【１】　自然数$m\text{，}n$に対して，整数$a(m,n)$を$a(m,1)=a(1,n)=1\text{，}$$a(m+1,n+1)$$=a(m+1,n)$$-a(m,n+1)$で定める．次の問いに答えなさい．

(1)　$a(2,3)$を求めなさい．

(2)　$2$以上の自然数$m$に対して次の式が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明しなさい．

(3)　$a(m,1)-a(m-1,2)$$+a(m-2,3)$$-\cdots +{(-1)}^{m-1}a(1,m)$を$m$を用いて表しなさい．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする空間内に，$3$点$\mathrm{A}(2,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,k)$を含む平面$\alpha$がある．ただし，$k>0$とする．点$\mathrm{O}$を通り平面$\alpha$に垂直に交わる直線と$\alpha$との交点を$\mathrm{P}$とし，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{P}$を通る直線が線分$\mathrm{BC}$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{OP}=\sqrt{{\displaystyle \frac{12}{23}}}$のとき，$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}$を求めなさい．

【３】　曲線$C\text{：}y=(1-\cos x)\sin x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$がある．次の問いに答えなさい．

(1)　曲線$C$の概形をかきなさい．ただし，凹凸は調べなくてよい．

(2)　曲線$C$上に$2$点をとり，その$2$点を通る直線を考える．この直線の傾きがとり得る値の範囲を求めなさい．ただし，$2$点が一致するときは，その点における接線を考えるものとする．

【４】　$xy$平面において，連立不等式${\displaystyle \frac{x^2}{2{(e-1)}^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{2}}\leqq 1\text{，}y\leqq \log (x+1)\text{，}y\geqq 0$の表す領域を$D$とする．次の問いに答えなさい．

(1)　$2$つの曲線${\displaystyle \frac{x^2}{2{(e-1)}^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{2}}=1\text{，}y=\log (x+1)$が点$(e-1,1)$で交わることを示しなさい．

(2)　領域$D$の面積を求めなさい．

(3)　点$(x,y)$が領域$D$を動くとき，$\sqrt{e}y-x$の最大値を求めなさい．