2012　首都大学東京　前期MathJax

【１】　$1$個のさいころを$5$回振る試行を行うとき，以下の問いに答えなさい．答えのみでなく，理由も述べなさい．

(1)　$3$の倍数の目がそれ以外の目より$1$回だけ多く出る確率を求めなさい．

(2)　$3$の倍数の目がそれ以外の目より$2$回以上多くでる確率を求めなさい．

(3)　$3$の倍数の目が出る回数を$x$とし，それ以外の目が出る回数を$y$とする．$x^2+y^2$が最小値をとる確率を求めなさい．

【２】　実数$m$が$m>-1$を満たすとき，直線$l:y=mx$と放物線$C:y=x^2-x$の$2$つの交点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{P}$における$C$の接線と点$\mathrm{Q}$における$C$の接線の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{R}$の座標を求めなさい．

(2)　$l$と$C$で囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$▵\mathrm{PQR}$の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$を求めなさい．

【３】　座標平面上で，$x$座標，$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を正の整数として，変数$x\text{，}y$についての不等式

$|x|+|y|<n$

の表す領域内にある格子点$(x,y)$の個数を$a_n$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$を求めなさい．

(2)　$a_{n+1}-a_n$を$n$で表しなさい．

(3)　$a_n$を求めなさい．

【４】　内角がすべて$180\mathrm{°}$より小さい四角形$\mathrm{ABCD}$に対し，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$とおく．$\mathrm{G}$は

$\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}+\overrightarrow{\mathrm{GD}}=\overrightarrow{0}$

を満たす点とする．$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$（$s\text{，}t$は正の実数）と表すとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$と実数$s\text{，}t$を用いて表しなさい．

(2)　点$\mathrm{G}$が線分$\mathrm{BD}$上にあるとき，$s$と$t$の満たす関係式を求めなさい．

(3)　$s$と$t$が(2)で求めた関係式を満たすとき，線分$\mathrm{AC}$の中点は線分$\mathrm{BD}$上にあることを示しなさい．

(4)　$s$と$t$が(2)で求めた関係式を満たすとき，$▵\mathrm{ABD}$と$▵\mathrm{BCD}$の面積は等しくなることを示しなさい．

【１】　$e$は自然対数の底とする．$f(x)=x\log x$（$x>0\text{，}\log x$は$x$の自然対数）とおく．$t>e$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}$における接線の傾きが$\log t$となるとき，$\mathrm{A}$の$x$座標$a(t)$を求めなさい．

(2)　$x\geqq 1$の範囲において，曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=a(t)$で囲まれた部分の面積$S(t)$を求めなさい．

(3)　$t\to \infty$のとき，${\displaystyle \frac{S(t)}{t^p\log t}}$が$0$でない値に収束するような正の定数$p$の値を求めなさい．また，そのときの$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{S(t)}{t^p\log t}}$を求めなさい．

【２】　原点$\mathrm{O}(0,0,0)$と点$\mathrm{A}(1,1,1)$を通る直線を$l$とし，$3$点$\mathrm{B}(1,0,0)\text{，}\mathrm{C}(0,2,0)\text{，}\mathrm{D}(0,0,3)$を通る平面を$\alpha$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}$は平面$\alpha$に垂直で，成分がすべて正であり，長さが$7$になるものとする．このとき，$\overrightarrow{a}$を成分で表しなさい．

(2)　$▵\mathrm{BCD}$の面積を求めなさい．

(3)　$\mathrm{O}$から平面$\alpha$へ引いた垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めなさい．

(4)　$\mathrm{P}$は座標がすべて正である直線$l$上の点とする．$\mathrm{P}$を中心とする半径$7$の球面が点$\mathrm{Q}$で平面$\alpha$に接するとき，$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を求めなさい．

【３】　$A$は$2$次正方行列とし，$E\text{，}O$はそれぞれ$A$と同じ型の単位行列，零行列とする．$A$は$kE$（$k$は実数）の形でなく，$A^2-3A+2E=O$を満たす．以下の問いに答えなさい．ただし，$n$は自然数とする．

(1)　$A^3=aA+bE$を満たす実数$a\text{，}b$を求めなさい．

(2)　$A^n=a_{n}A+b_{n}E$を満たす実数$a_n\text{，}{b}_n$を求めなさい．

(3)　$A^n$の逆行列が$xA+yE$（$x\text{，}y$は実数）と表せるとき，$x\text{，}y$を求めなさい．

【１】　楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1\text{（}a>0\text{，}b>0\text{）}$上の点$\mathrm{P}(x_0,y_0)\text{（}0<x_0<a\text{，}{y}_0>0\text{）}$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)　${\displaystyle \frac{{x_0}^2}{a^2}}=t$とおくとき，線分$\mathrm{AB}$の長さ$\overline{\mathrm{AB}}$を$a\text{，}b\text{，}t$を用いて表しなさい．

(2)　$0<x_0<a$における$\overline{\mathrm{AB}}$の最小値を求めなさい．また，そのときの$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．

【２】　$n$を正の整数とし，$n^2+3$と$n+1$の最大公約数を$d_n$とおく．以下の問いに答えなさい．

(1)　$d_1\text{，}{d}_2\text{，}{d}_3\text{，}{d}_4\text{，}{d}_5$を求めなさい．

(2)　$(n^2+3)-(n-1)(n+1)=4$を用いて，$d_n$は$1\text{，}2\text{，}4$のいずれかであることを示しなさい．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{610}}{d}_n$を求めなさい．

(4)　次の極限値を求めなさい．

$\underset{k\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{k}}{\displaystyle \sum _{n=1}^k}{d}_n$

【３】　$P$は正$n$角形（$n\geqq 6$）とする．以下の問いに答えなさい．ただし，答えのみでなく，理由も述べなさい．

(1)　$P$の異なる$2$本の対角線の組で，$P$の頂点を共有するものは何通りあるか求めなさい．

(2)　$P$の異なる$2$本の対角線の組で，$P$の頂点以外の点を共有するものは何通りあるか求めなさい．

(3)　$P$の異なる$2$本の対角線の組で，共有点を持たないものは何通りあるか求めなさい．