2012　首都大学東京　後期MathJax

【１】　放物線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$と平面上の点$\mathrm{P}(a,b)$について，以下の問いに答えなさい．

(1)　点$(t,{\displaystyle \frac{t^2}{2}})$における$C$の接線に関して，点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の座標を$a\text{，}b\text{，}t$を用いて表しなさい．

(2)　(1)において，$t$がすべての実数を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡が$x$軸に平行な直線になったとする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標と点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求めなさい．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& -\sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 1\end{array}\right)$が$AB=BA$を満たすとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$a=d\text{，}b=-c$が成り立つことを示しなさい．

(2)　行列$A$の表す移動（$1$次変換）を$f$とし，平面上の点$(1,0)$は$f$により点$\mathrm{P}$に移されるとする．原点と$\mathrm{P}$との距離が$1$であるとき，単位円周上のすべての点は$f$により単位円周上に移ることを示しなさい．

【３】　平面上の$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1)$と$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たす実数$x$に対し，線分$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$と線分$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$を

$x=\angle \mathrm{OBP}=\angle \mathrm{BAQ}$

を満たすようにとる．以下の問いに答えなさい．

(1)　線分$\mathrm{AQ}$と線分$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，$▵\mathrm{PRA}$と$▵\mathrm{PAB}$は相似であることを示しなさい．

(2)　線分$\mathrm{AR}$の長さを$x$で表しなさい．

(3)　$▵\mathrm{ABR}$の面積$S(x)$の最大値を求めなさい．

【４】　実数$a$に対し，数列$\{a_n\}$を

$a_n=a\text{，}{a}_{n+1}=a_n(2-3a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，以下の問いに答えなさい．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{1}{3}}-a_n$とおき，$b_{n+1}$を$b_n$で表しなさい．

(2)　$a_n$を求めなさい．

(3)　数列$\{a_n\}$が収束するような$a$の範囲と，そのときの$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めなさい．