2012　横浜市立大　前期医学科MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(1)　$a$を正の定数として，関数$f(x)$を

$f(x)=\log (\sqrt{a^2+x^2}-x)$

とおく．$f(x)$を微分して，多項式

$f(0)+f^{\prime }(0)x+{\displaystyle \frac{f^{″}(0)}{2!}}{x}^2+{\displaystyle \frac{f^{‴}(0)}{3!}}{x}^3$

を求めよ$\boxed{\text{(1)}}$．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(2)　座標平面において，曲線$C:y=\sin x(0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$上の点$\mathrm{P}(a,\sin a)$における$C$の法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$を直径とする円が，$x$軸と交わる$\mathrm{Q}$以外の点を$\mathrm{R}$とする．このとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S(a)$を求めよ$\boxed{\text{(2-i)}}$．次に，$a$が動くとき，$S(a)$の最大値を求めよ$\boxed{\text{(2-ii)}}$．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(3)　数列$\{a_n\}$

$1\text{，}{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{1}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{1}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{4}{1}}\text{，}\cdots$

を次のような群に分け，第$m$群には$m$個の数が入るようにする．

$\underset{\underset{\text{第}1\text{群}}{⏟}}{{\displaystyle \frac{1}{1}}}\left|\underset{\underset{\text{第}2\text{群}}{⏟}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{1}}}\right|\underset{\underset{\text{第}3\text{群}}{⏟}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{1}}}\left|\underset{\underset{\text{第}4\text{群}}{⏟}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{4}{1}}}\right|\text{，}\cdots \text{，}$$\left|\underset{\underset{\text{第}m\text{群}}{⏟}}{{\displaystyle \frac{1}{m}}\text{，}{\displaystyle \frac{2}{m-1}}\text{，}\cdots \text{，}{\displaystyle \frac{m-1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{m}{1}}}\right|\text{，}\cdots$

　このとき，数列$\{a_n\}$において，

${\displaystyle \frac{q}{p}}$

は第何項か$\boxed{\text{(3-i)}}$．ただし，${\displaystyle \frac{q}{p}}$は，例えば${\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$のように，約分しないものとする．次に，第$100$項$a_{100}$を求めよ$\boxed{\text{(3-ii)}}$．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(4)　$2$次の正方行列$A$が

$A\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\text{，}A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$

をみたすとする．このとき，自然数$n$に対して

$A^n\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$

を求めよ$\boxed{\text{(4)}}$．

【１】　以下の問いに答えよ．ただし，解答のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ．

(5)　$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BC}$の長さが$1\text{，}\angle A$が${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$から$\angle A\text{，}\angle B\text{，}\angle C$の二等分線を引き，対応する辺との交点を，それぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．

このとき，三角関数の値

$\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{10}}\right)$

を求めよ$\boxed{\text{(5)}}$．

【２】　座標空間に，一辺の長さが$a$の正四面体$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を

$\mathrm{AP}=\mathrm{CQ}=ta\text{（}0<t<1\text{）}$

となるようにとる．以下の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$の内積を求めよ．

(2)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{QA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QB}}$の内積を求めよ．

(3)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$の長さを求めよ．

【３】　$f(x)$を区間$[0,\infty )$上の連続関数とする．この区間上の$f(x)$の積分を

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }}f(x)dx=\underset{R\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^R}f(x)dx$

とおく．以下の問いに答えよ．

(1)　$\alpha \text{，}\beta$を正の定数として，積分

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{(1+\alpha x)(1+\beta x)}}dx$

を求めよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$を相異なる正の定数として，積分

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)}}dx$

を（結果の表示を簡潔にするため）

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{(1+ax)(1+bx)(1+cx)}}dx=A\log a+B\log b+C\log c$

とおく．$A\text{，}B\text{，}C$を求めよ．