2012 富山県立大学 前期工学部

Mathematics

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2012 富山県立大学 前期工学部

易□ 並□ 難□

【1】  m1 m2 p は定数で m1< m2 とする.放物線 Cy= x2 x 2 つの直線 l1 y=m1 x 1 l 2y =m2 x1 に接するとき,次の問いに答えよ.

(1)  m1 m2 の値を求めよ.

(2)  C 上の点 P ( p,p2 p ) を通る C の接線 l の方程式を y =ax +b m1< a<m2 とする. p を用いて,定数 a b を表せ.

(3)  l l 1 の共有点を A ( x1, y1 ) l l 2 の共有点を B ( x2, y2 ) とする.線分 AB の長さが最小となるときの p の値を求めよ.

2012 富山県立大学 前期工学部

易□ 並□ 難□

【2】 数直線上の点 P Q は,さいころ A B を同時に投げた結果によって移動する.点 P は,さいころ A の出る目が偶数ならば + 3 だけ移動し,奇数ならば - 1 だけ移動する.点 Q は,さいころ B の出る目が 2 以下ならば + 3 だけ移動し, 3 以上ならば + 1 だけ移動する.点 P Q は最初に原点にあるものとし,このような操作をくり返すとき,次の問いに答えよ.

(1)  8 回目の操作で,点 P が原点に戻る確率 p 1 を求めよ.

(2)  6 回目の操作で,点 Q の座標が 14 以上である確率 p 2 を求めよ.

(3)  4 回目の操作で,点 P と点 Q の座標が同じである確率 p 3 を求めよ.

2012 富山県立大学 前期工学部

易□ 並□ 難□

【3】  a は定数で a >1 とする.関数 f (x )= a 1+( a-1) e- x について,次の問いに答えよ.

(1) 不等式 0 <f( x)< a が成り立つことを示せ.また,極限 limx - f( x) および limx f (x ) を求めよ.

(2)  a=3 のとき, y=f (x ) のグラフの概形を,極値および変曲点を調べてかけ.

(3)  p は定数で p <0 とする. a=3 のとき,定積分 I (p )= p0f (x )d x を求めよ.また,極限 limp - I( p) を求めよ.

2012 富山県立大学 前期工学部

機械システム工,知能デザイン工,情報システム工,環境工学科

易□ 並□ 難□

【4】  a b c d は実数とし,行列 A =( ab cd ) B =( -d cb -a ) とする. A2 +A+E =O が成り立つとき,次の問いに答えよ.ただし, E は単位行列, O は零行列とする.

(1)  a+d および a d-b c の値を求めよ.

(2)  A3 A6 B3 B6 を求めよ.

(3)  B3 n n=1 2 3 を推測し,その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ.

2012 富山県立大学 前期工学部

生物工学科

易□ 並□ 難□

【4】 数列 { an } の各項 a n n=1 2 3

a1 =2 { an が偶数のとき, an+ 1=a n+1 an が奇数のとき,a n+1 =2a n

により定める.次の問いに答えよ.ただし, k は正の整数とする.

(1)  a2 a3 a4 a5 a6 を求めよ.

(2)  a2 k を用いて, a 2k+ 2 を表せ.また, a2 k-1 を用いて, a2 k+1 を表せ.

(3)  a2 k a 2k- 1 を求めよ.