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2012-11341-0101
2012 富山県立大学 前期工学部
易□ 並□ 難□
【1】 m1 , m2 ,p は定数で m1< m2 とする.放物線 C:y= x2− x が 2 つの直線 l1: y=m1 ⁢x− 1 ,l 2:y =m2 ⁢x−1 に接するとき,次の問いに答えよ.
(1) m1 , m2 の値を求めよ.
(2) C 上の点 P ( p,p2 −p ) を通る C の接線 l の方程式を y =a⁢x +b ( m1< a<m2 ) とする. p を用いて,定数 a , b を表せ.
(3) l と l 1 の共有点を A ( x1, y1 ), l と l 2 の共有点を B ( x2, y2 ) とする.線分 AB の長さが最小となるときの p の値を求めよ.
2012-11341-0102
【2】 数直線上の点 P ,Q は,さいころ A ,B を同時に投げた結果によって移動する.点 P は,さいころ A の出る目が偶数ならば + 3 だけ移動し,奇数ならば - 1 だけ移動する.点 Q は,さいころ B の出る目が 2 以下ならば + 3 だけ移動し, 3 以上ならば + 1 だけ移動する.点 P ,Q は最初に原点にあるものとし,このような操作をくり返すとき,次の問いに答えよ.
(1) 8 回目の操作で,点 P が原点に戻る確率 p 1 を求めよ.
(2) 6 回目の操作で,点 Q の座標が 14 以上である確率 p 2 を求めよ.
(3) 4 回目の操作で,点 P と点 Q の座標が同じである確率 p 3 を求めよ.
2012-11341-0103
【3】 a は定数で a >1 とする.関数 f ⁡(x )= a 1+( a-1) ⁢e- x について,次の問いに答えよ.
(1) 不等式 0 <f⁡( x)< a が成り立つことを示せ.また,極限 limx→ -∞ f⁡( x) および limx→ ∞f⁡ (x ) を求めよ.
(2) a=3 のとき, y=f⁡ (x ) のグラフの概形を,極値および変曲点を調べてかけ.
(3) p は定数で p <0 とする. a=3 のとき,定積分 I ⁡(p )= ∫ p0f ⁡(x )⁢d x を求めよ.また,極限 limp→ -∞ I⁡( p) を求めよ.
2012-11341-0104
機械システム工,知能デザイン工,情報システム工,環境工学科
【4】 a ,b , c ,d は実数とし,行列 A =( ab cd ) ,B =( -d cb -a ) とする. A2 +A+E =O が成り立つとき,次の問いに答えよ.ただし, E は単位行列, O は零行列とする.
(1) a+d および a ⁢d-b ⁢c の値を求めよ.
(2) A3 , A6 , B3 , B6 を求めよ.
(3) B3⁢ n ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) を推測し,その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ.
2012-11341-0105
生物工学科
【4】 数列 { an } の各項 a n ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ ) を
a1 =2 ,{ an が偶数のとき, an+ 1=a n+1 an が奇数のとき,a n+1 =2⁢a n
により定める.次の問いに答えよ.ただし, k は正の整数とする.
(1) a2 , a3 , a4 , a5 , a6 を求めよ.
(2) a2⁢ k を用いて, a 2⁢k+ 2 を表せ.また, a2⁢ k-1 を用いて, a2⁢ k+1 を表せ.
(3) a2⁢ k ,a 2⁢k- 1 を求めよ.