2012　福井県立大学　後期MathJax

【１】　$n$を自然数とし，$a_n={(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$とおく．次の問１〜問４に答えよ．

問１　$a_n=1+\boxed{\text{ア}}{\displaystyle \frac{1}{n}}+\boxed{\text{イ}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}+\boxed{\text{ウ}}{\displaystyle \frac{1}{n^3}}+\cdots +\boxed{\text{エ}}{\displaystyle \frac{1}{n^{n-1}}}+{\displaystyle \frac{1}{n^n}}$と表したときの，空欄$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{エ}}$に当てはまる係数を$n$の式で答えよ．

問２　$n!\geqq 2^{n-1}$が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ．

問３　次の不等式が成り立つことを証明せよ．

$a_n\leqq 1+{\displaystyle \frac{1}{1!}}+{\displaystyle \frac{1}{2!}}+{\displaystyle \frac{1}{3!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}}$

問４　問２と問３の結果を用いて，$a_n<3$が成り立つことを証明せよ．

【２】　$f(x)=x^2+2x-3-|4x-2|$とする．次の問１〜問３に答えよ，

問１　関数$f(x)$の増減を調べよ．

問２　$y=f(x)$のグラフと，直線$y=ax-5$が，$4$つの共有点をもつような，定数$a$の値の範囲を求めよ．

問３　$y=f(x)$のグラフと，直線$y=3x+5$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　ある人が$1000$円のお金を持って，$200$円のお菓子を買いに行った．このお菓子を$1$個買うと，$1$回くじ引きができて，当たれば景品がもらえる．そこで，景品が当たるか，または，お金がなくなるまで，このお菓子を$1$個ずつ繰り返し購入することにした．次の問１〜問４に答えよ．ただし，お菓子は十分多くあり，毎回のくじ引きは独立な試行とし，$1$回のくじ引きで景品が当たる確率は，毎回一定の値$p$とする．

問１　$1000$円使っても景品が当たらない確率を$p$の式で表せ．

問２　$n$回目の購入で，初めて景品が当たる確率を$p$と$n$の式で表せ．

問３　この人が使う金額の期待値$E$を，$p$の式で表せ．

問４　別の人は，お金を十分多く用意して，景品が当たるまで$1$個ずつ繰り返し購入することにした．$p={\displaystyle \frac{1}{50}}$のとき，$n$回目の購入までに景品が当たる確率を${\displaystyle \frac{9}{10}}$以上にするためには，少なくとも$n$は何回以上でなければならないか．ただし，${\log }_{10}7=0.8451\text{，}{\log }_{10}5=0.6990$とする．