2012 岐阜薬科大学 中期

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2012 岐阜薬科大学 中期

易□ 並□ 難□

【1】  2 つの放物線 y =x2 -2 y= -x2 +2a x+b が異なる 2 P ( x1, y1 ) Q (x 2,y 2) で交わり,条件(A),(B)を満たすとき,次の問いに答えよ.



(1)  a b の値を求めよ.

(2)  2 つの放物線で囲まれた図形の面積を求めよ.

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【2】  xy 平面上の点 Pn n= 1 2 3 は放物線 y =x2 上にあり,直線 Pn Pn +1 の傾きは 1n (n+ 2) である.点 Pn x 座標を x n とし,点 P1 が原点 O であるとき,次の問いに答えよ.

(1)  xn+ 1+ xn n を用いて表せ.

(2)  yn =xn - 12n (n +1) とおくとき,数列 { yn } は等比数列であることを示せ.

(3)  xn を求めよ.

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【3】  3 辺の長さが 10 15 15 の二等辺三角形 6 個を側面とし, 1 辺の長さが 10 の正六角形を底面とする正六角錐について,次の問いに答えよ.

(1) 表面積と体積を求めよ.

(2) 底面と全ての側面に接する球 P の半径を求めよ.

(3) 球 P と全ての側面に接する球 Q の半径を求めよ.

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【4】 行列 A =( 3a- 19 a- a-3 a-1 ) について,次の問いに答えよ.ただし, a は実数とする.

(1)  A2 A3 を求めよ.

(2) 正の整数 n について A n を推定し,それを数学的帰納法で証明せよ.

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【5】  x+y+ z=n n は正の整数)をみたす正の整数の組 ( x,y,z ) について,次の問いに答えよ.

(1)  n=19 のとき, (x ,y,z ) の組は何通りあるか.そのうち, x y z のいずれか 2 つが等しい組, xy z をみたす組はそれぞれ何通りあるか .

(2)  n 6 の倍数であるとき, xy z をみたす ( x,y,z ) の組は何通りあるか.

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【6】 円 x2+ (y -a) 2= r2 で囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を V (a ) とするとき,次の問いに答えよ.ただし, a r は正の実数とする.

(1)  ar のとき, V( a) を求めよ.

(2)  0<a <r とする.

(ⅰ)  0<θ <π 2 のとき, sinθ <θ<tan θ が成り立つ.このことを用いて,次の不等式が成り立つことを示せ.

(r+ a) r2 -a2 2 < 0r 2-a 2 r2 -x2 dx< (r2 +a2 ) r2 -a2 2 a

(ⅱ) (ⅰ)の結果を用いて, 2π (a- r) (a+ r) r2 -a2 3 <V( a)- 2π 2a r2 < 2π (a -r) (a- 2r) r2 -a2 3 が成り立つことを示せ.