2012　岐阜薬科大学　中期MathJax

【１】　$2$つの放物線$y=x^2-2\text{，}y=-x^2+2ax+b$が異なる$2$点$\mathrm{P}(x_1,y_1)\text{，}\mathrm{Q}(x_2,y_2)$で交わり，条件(A)，(B)を満たすとき，次の問いに答えよ．

• (A)　$y_1-y_2=2(x_1-x_2)$
• (B)　$y_1+y_2=3-x_1{x}_2$

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$2$つの放物線で囲まれた図形の面積を求めよ．

【２】　$xy$平面上の点${\mathrm{P}}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$は放物線$y=x^2$上にあり，直線${\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}$の傾きは${\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}}$である．点${\mathrm{P}}_n$の$x$座標を$x_n$とし，点${\mathrm{P}}_1$が原点$\mathrm{O}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x_{n+1}+x_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$y_n=x_n-{\displaystyle \frac{1}{2n(n+1)}}$とおくとき，数列$\{y_n\}$は等比数列であることを示せ．

(3)　$x_n$を求めよ．

【３】　$3$辺の長さが$10\text{，}15\text{，}15$の二等辺三角形$6$個を側面とし，$1$辺の長さが$10$の正六角形を底面とする正六角錐について，次の問いに答えよ．

(1)　表面積と体積を求めよ．

(2)　底面と全ての側面に接する球$P$の半径を求めよ．

(3)　球$P$と全ての側面に接する球$Q$の半径を求めよ．

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}3a-1& 9a\\ -a& -3a-1\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)　$A^2\text{，}{A}^3$を求めよ．

(2)　正の整数$n$について$A^n$を推定し，それを数学的帰納法で証明せよ．

【５】　$x+y+z=n$（$n$は正の整数）をみたす正の整数の組$(x,y,z)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$n=19$のとき，$(x,y,z)$の組は何通りあるか．そのうち，$x\text{，}y\text{，}z$のいずれか$2$つが等しい組，$x\leqq y\leqq z$をみたす組はそれぞれ何通りあるか ．

(2)　$n$が$6$の倍数であるとき，$x\leqq y\leqq z$をみたす$(x,y,z)$の組は何通りあるか．

【６】　円$x^2+{(y-a)}^2=r^2$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とするとき，次の問いに答えよ．ただし，$a\text{，}r$は正の実数とする．

(1)　$a\geqq r$のとき，$V(a)$を求めよ．

(2)　$0<a<r$とする．

(ⅰ)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$のとき，$\sin \theta <\theta <\tan \theta$が成り立つ．このことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle \frac{(r+a)\sqrt{r^2-a^2}}{2}}<{\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{r^2-a^2}}}\sqrt{r^2-x^2}dx<{\displaystyle \frac{(r^2+a^2)\sqrt{r^2-a^2}}{2a}}$

(ⅱ)　(ⅰ)の結果を用いて，${\displaystyle \frac{2\pi (a-r)(a+r)\sqrt{r^2-a^2}}{3}}<V(a)-2{\pi }^{2}a{r}^2<{\displaystyle \frac{2\pi (a-r)(a-2r)\sqrt{r^2-a^2}}{3}}$が成り立つことを示せ．