2012　静岡文化芸術大学　前期MathJax

【１】　次の$2$つの関数の周期をそれぞれ求めよ．また，それぞれのグラフを$1$周期分書け．

(1)　$y=3\cos ({\displaystyle \frac{\theta }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

(2)　$y=-2\sin (2\theta -\pi )$

【２】　次の各組の数を小さい順に並べよ．なお，求める過程も書け．

(1)　${\log }_{3}5\text{，}{\log }_{3}6$

(2)　${\log }_{0.6}5\text{，}{\log }_{0.6}6$

(3)　${\log }_{0.3}7\text{，}{\log }_{3}7\text{，}{\log }_{4}7$

【３】　$2$次方程式$-x^2+(a-3)x+2a-3=0$が異なる$2$個の実数解をもち，その解がいずれも$1$より小さくなるような，定数$a$の値の範囲を求めよ．

【４】　$a>0$とする．関数$f(x)=x^3+(a-3)x^2-4ax+b$が，$0\leqq x\leqq 3$の区間で最大値$2$および最小値$-4$をもつ．そのときの$a\text{，}b$を求めよ．

【５】　実数$x\text{，}y$が$x^2+y^2\leqq 2$を満たしながら変化するとする．

(1)　$s=x+y\text{，}t=xy$とするとき，点$(s,t)$の動く領域を$st$平面上に図示せよ．

(2)　$m$を正の定数とするとき，$xy+{\displaystyle \frac{1}{m}}(x+y)$の最大値と最小値をそれぞれ$m$を用いて表せ．

【６】　$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,0,-1)\text{，}\mathrm{B}(-1,-1,0)\text{，}\mathrm{C}(1,1,1)$がある．$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の定める平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．

【７】　数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$1$枚の硬貨を投げて表が出たとき点$\mathrm{P}$は正の向きに$3$だけ動き，裏が出たとき点$\mathrm{P}$は負の向きに$1$だけ動く．

(1)　硬貨を$8$回続けて投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点に戻るのは表が何回出たときか求めよ．

(2)　このときの確率を求めよ．

【８】　次の数列の一般項を求めよ．

${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{10}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{19}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{30}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{43}}\text{，}\cdots$