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2012-11521-0201
2012 滋賀県立大学 後期
工,環境科学部
易□ 並□ 難□
【1】(1) 行列 ( a+1 2-a 2 2⁢a ) が逆行列をもたないとき,定数 a の値を求めよ.
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【1】(2) 関数 y =cos2 ⁡a⁢x ( a は定数)を微分せよ.
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【1】(3) 定積分 ∫ 1a (log⁡ x) 2x ⁢ dx ( a>1 ) を求めよ.
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【2】 原点を O とする座標平面上に点 A ( 0,1 ), B (2 ,0) をとる. AB ,BO をそれぞれ 1 :r ( r>0 ) に内分する点を M ,N とする.また, OM と AN の交点を P とする.
(1) OA→ =a→ , OB→ =b→ とおくとき, OM→ ,AN → をそれぞれ a→ , b→ , r で表せ.
(2) OM→ と AN → が直交するときの r の値とそのときの R の座標を求めよ.
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【3】 1 より大きい自然数 p と q ( p>q ) は互いに素,すなわち 1 以外の公約数を持たないものとする.
(1) 整数 m と n について, m⁢p -n⁢p が q の整数倍であるとき, m-n は q の整数倍であることを示せ.
(2) n=1 , 2 ,⋯ , q に対して, n⁢p を q で割った余りはすべて異なることを示せ.
(3) 座標平面上の点 ( x,y ) は, x と y がともに整数であるとき格子点という.直線 p ⁢x+q ⁢y=0 に平行な直線で,原点を通らず,かつある格子点を通るもののうち,原点からの距離が最小となるものは p ⁢x+q ⁢y=1 と p ⁢x+q ⁢y=- 1 であることを示せ.
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【4】 数列 { an } は 0 <a1 <a2 <⋯ <an <⋯ を満たすとする.座標平面の原点から曲線 Cn :y= loge⁡ xan ( x>0 ) へ接線を引き,その接点を Pn とする.いま,点 P1 , P 2 ,⋯ , Pn ,⋯ はある直線 l 上に等間隔に並んでいるとする.
(1) l を求めよ.
(2) 数列 { an } は等差数列であることを示せ.
(3) l と x 軸および C n と C n+1 によって囲まれる領域の面積 S n はすべての n に関して同じであることを示せ.