2012　京都府立大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数とする．関数$f(x)={\displaystyle \frac{a^x-b^x}{\sqrt{5}}}$は$f(1)=1\text{，}f(2)=1$を満たすとする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$の値を求めよ．

(2)　$f(2)+f(3)=f(4)$が成り立つことを示せ．

(3)　$x$が自然数のとき，$f(x)$も自然数となることを示せ．

【２】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$2$点$\mathrm{A}(5,3,-3)\text{，}\mathrm{B}(4,2,-1)$をとる．中心が$\mathrm{C}(5,2,-2)\text{，}$半径が$r$の球面を$S$とし，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$l$とする．$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の定める平面に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$l$と$S$が平面$z=1$で交点$\mathrm{D}$をもつ．以下の問いに答えよ．

(1)　$r$の値を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=s\overrightarrow{\mathrm{CA}}+t\overrightarrow{\mathrm{CB}}$となる実数$s\text{，}t$の値を求めよ．

(3)　垂線$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．

(4)　$▵\mathrm{ACD}$の面積を求めよ．

【３】　$a$を実数とする．$xy$平面上に，曲線$C_1\text{：}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1\text{，}$曲線$C_2\text{：}y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+a\text{，}$次の連立不等式の表す領域$D$がある．

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2\leqq 1\\ y\geqq {\displaystyle \frac{x^2}{2}}-1\end{array}$

以下の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$が共有点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$C_1$と$C_2$の共有点の個数を，$a$の値によって分類せよ．

(3)　$D$の面積を求めよ．

【４】　$n$を自然数とする．整数を成分にもつ行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}3& x\\ y& z\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$は$AB=BA\text{，}{B}^2-3B+2E=O$を満たすとする．ただし$x\ne y$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a>b>c>d\text{，}bc>0$かつ$A^2=18E$のとき，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値をすべて求めよ．

(2)　$B^n=p_{n}B+q_{n}E$で定まる数列$\{p_n\}\text{，}\{q_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．

(3)　$a=3\text{，}b=2\text{，}c=-4\text{，}d=-3$のとき，$x\text{，}y\text{，}z$の値および${(AB)}^{2n}$を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{6}{3-\sqrt{3}}}$の整数部分を$a\text{，}$小数部分を$b$とするとき，$a^2+b^2$の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　${(x+2)}^{12}$の展開式における最大の係数の値を求めよ．

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$3$辺の長さがそれぞれ$4\text{，}5\text{，}6$である三角形に内接する円の半径を求めよ．

【２】　関数$f(x)$を$f(x)=x^2+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)dt$とおく．曲線$y=f(x)$を$C$とする．$C$上に$2$つの点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$がある．$\mathrm{P}$の$x$座標を$a\text{，}\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．ただし，$a<b$とする．$\mathrm{P}$における$C$の接線と直交し$\mathrm{P}$を通る直線を$l\text{，}\mathrm{Q}$における$C$の接線と直交し$\mathrm{Q}$を通る直線を$m\text{，}\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を通る直線を$n$とする．$l$と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\angle \mathrm{PRQ}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　等式$f(x)=x^2+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

(2)　$\mathrm{R}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．

(3)　$\mathrm{R}$が$y$軸上にあるとき，$n$および$C$で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　$n\text{，}{a}_n\text{，}{b}_n$を自然数とし，${(2+\sqrt{3})}^n=a_n+\sqrt{3}{b}_n$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$a_{n+1}\text{，}{b}_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n$を用いて表せ．

(2)　${(2-\sqrt{3})}^n=a_n-\sqrt{3}{b}_n$となることを数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　${(2+\sqrt{3})}^n$以下の整数のうち最大のものを$p{a}_n+q$とする．$p$と$q$の値を求めよ．