2012　京都府立医科大学　前期MathJax

【１】　$x$を実数とし，$3$辺の長さが$1\text{，}x$および$2-x$の三角形を考える．

(1)　$x$の取り得る値の範囲を求めよ．

(2)　長さ$1$の辺と長さ$x$の辺のなす角の大きさを$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$x$を用いて表せ．

(3)　三角形の面積を$x$を用いて表せ．

(4)　三角形を長さ$x$の辺のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を$V(x)$とおく．$V(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

【２】　平面上に原点$\mathrm{O}$を外心とする$▵\mathrm{ABC}$があり

$7\overrightarrow{\mathrm{OA}}+x\overrightarrow{\mathrm{OB}}+y\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}$

が成り立っているとする．ただし$x>0\text{，}y>0$とする．点$\mathrm{A}$を通り直線$\mathrm{OA}$に垂直な直線を$l$とする．直線$l$は直線$\mathrm{BC}$と交わるとし，その交点を$\mathrm{D}$とする．このとき点$\mathrm{C}$は線分$\mathrm{BD}$上にあるとする．$\angle \mathrm{ADB}$の$2$等分線と辺$\mathrm{AB}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}$であることを証明せよ．

(2)　$▵\mathrm{APQ}$が正三角形となる整数$x\text{，}y$の組をすべて求めよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$と$▵\mathrm{APQ}$の面積をそれぞれ$S_1\text{，}{S}_2$とする．(2)で求めた$x\text{，}y$のうち，$x+y$が最大になるものについて，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$を求めよ．

【３】　四面体$\mathrm{ABCD}$があり，辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BD}$は辺$\mathrm{AB}$に垂直であるとし，面$\mathrm{ABC}$と面$\mathrm{ABD}$は垂直に交わるとする．辺$\mathrm{AB}$の長さを$1$とし，辺$\mathrm{AC}$の長さを$a\text{，}$辺$\mathrm{BD}$の長さを$b$とおく．次に，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に垂直である平面を$K$とおく．四面体に内接する球の半径を$r$とおき，球の中心から平面$K$に下ろした垂線の長さを$c$とおく．

(1)　${\displaystyle \frac{r}{c}}$を$b$を用いて表せ．

(2)　$r$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　$a=1$とする．線分$\mathrm{AB}$の中点を通り直線$\mathrm{AB}$と垂直に交わる平面を$H$とおく．四面体に内接する球が平面$H$と共有点を持たないような$b$の範囲を求めよ．

【４】　$2$以上の整数$n$に対し

$I_n={\displaystyle {\int }_{2(n-1)\pi }^{2n\pi }}{\displaystyle \frac{1-\cos x}{x-\log (1+x)}}dx$

とおく．

(1)　$I_n\leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{2(n-1)\pi -\log (1+2(n-1)\pi )}}$であることを証明せよ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }n{I}_n=1$であることを証明せよ．ただし，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\log x}{x}}=0$であることは証明なしに用いてよい．