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2012-11556-0101
2012 大阪市立大学 前期
商・経済・医(看護)・
生活科学部
50点
易□ 並□ 難□
【1】 0 以上の実数 t に対し, F⁡( t)= ∫ 01⁡ | x2- t2 | ⁢dx とする.次の問いに答えよ.
問1 F⁡( t) を t を用いて表せ.
問2 t≧0 において,関数 F ⁡(t ) が最小値をとるときの t の値を求めよ.
2012-11556-0102
【2】 実数 θ に対し,座標空間の 2 点 A (cos ⁡θ,sin ⁡θ,0 ), B( 0,sin⁡ 2⁢θ, cos⁡2⁢ θ) を考える.次の問いに答えよ.
問1 点 A , B と原点 O の 3 点は同一直線上にないことを示せ.
問2 三角形 OAB の面積 S を sin ⁡θ を用いて表せ.
問3 θ が実数全体を動くとき,問2で求めた S の最大値と最小値を求めよ.
2012-11556-0103
【3】 三角形 ABC の頂点 A , B ,C は反時計回りに並んでいるものとする.点 P はいずれかの頂点の位置にあり, 1 枚の硬貨を 1 回投げるごとに,表が出れば時計回りに隣の頂点へ,裏が出れば反時計回りに隣の頂点へ,移動するものとする.点 P は最初,頂点 A の位置にあったとする.硬貨を n 回投げたとき,点 P が頂点 A の位置に戻る確率を a n で表す.次の問いに答えよ.
問1 n≧2 に対し a n を a n-1 を用いて表せ.
問2 an を求めよ.
2012-11556-0104
生活科・理・工・医(医)学部共通
理・工・医(医)学部では【2】
【4】 xy 平面において, x 軸の x< 0 である部分を C 1 ,x 軸の x> 1 である部分を C 2 とする.また, 2 点 ( 0,-1 ), (1 ,-1 ) を結ぶ線分を K とする. y>0 をみたす点 ( x,y ) からは, C1 と C 2 が障害となり, C1 と C 2 の間を通してしか, K は見えないものとする.点 ( s,1 ) から見える K の部分の長さを f ⁡(s ), 点 ( 2,t ) ( t>0 ) から見える K の部分の長さを g ⁡(t ) とおく.ただし, K がまったく見えないとき,または, K の 1 点のみが見えるとき, f⁡( s) ,g ⁡(t ) の値は 0 とする.次の問いに答えよ.
問1 f⁡( s) を求めよ.また, s が実数全体を動くとき,関数 f⁡ (s ) のグラフを描け.
問2 g⁡( t) を求めよ.また, t が正の実数全体を動くとき,関数 g⁡ (t ) のグラフを描け.
2012-11556-0105
理・工・医(医)学部
【1】 t を正の定数とする.次の問いに答えよ.
問1 正の実数 x に対して定義された関数 g⁡ (x) =ex ⁢x- t について, g⁡( x) の最小値を t を用いて表せ.
問2 すべての正の実数 x に対して e x>x t が成り立つための必要十分条件は, t<e であることを示せ.
2012-11556-0106
【3】 0≦x≦ 2⁢π の範囲で二つの曲線 y= sin⁡x と y= k⁢cos⁡ x を考える.ただし, k>0 とする.この二つの曲線の交点の x 座標を α , β ( 0≦α< β≦2⁢ π ) とし, α≦x ≦β の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積を S とする.次の問いに答えよ.
問1 k と β を α を用いて表せ.
問2 S を k を用いて表せ.
問3 S=4 のとき, α≦x ≦θ の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積が 2 となるような θ の値を求めよ.
2012-11556-0107
【4】 | a2-2 ⁢b2 | =1 をみたす整数 a , b によって, (a 2⁢b b a ) と表される 2 次の正方行列全体の集合を U とする.このとき, U に属する行列 A =( a2 ⁢b ba ) に対して, f⁡( A)= a+2 ⁢b とおく.次の問いに答えよ.
問1 二つの行列 A と B が U に属するならば,積 A⁢ B も U に属することを示し,さらに f ⁡(A ⁢B) =f⁡( A)⁢ f⁡( B) が成り立つことを示せ.
問2 U に属する行列 A= ( a2⁢b b a ) について, f⁡ (A) ≧1 ならば, -1≦a -2⁢ b≦1 が成り立つことを示せ.
問3 U に属する行列 A について, 1≦f⁡ (A) <1+2 ならば, A=( 1 0 01 ) であることを示せ.
問4 U に属する行列 A について, 1+2 ≦f⁡( A)< (1 +2 )2 ならば, A=( 1 21 1 ) であることを示せ.