2012 大阪市立大学 前期MathJax

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2012 大阪市立大学 前期

商・経済・医(看護)・

生活科学部

50点

易□ 並□ 難□

【1】  0 以上の実数 t に対し, F( t)= 01 | x2- t2 | dx とする.次の問いに答えよ.

問1  F( t) t を用いて表せ.

問2  t0 において,関数 F (t ) が最小値をとるときの t の値を求めよ.

2012 大阪市立大学 前期

商・経済・医(看護)・

生活科学部

50点

易□ 並□ 難□

【2】 実数 θ に対し,座標空間の 2 A (cos θ,sin θ,0 ) B( 0,sin 2θ, cos2 θ) を考える.次の問いに答えよ.

問1 点 A B と原点 O 3 点は同一直線上にないことを示せ.

問2 三角形 OAB の面積 S sin θ を用いて表せ.

問3  θ が実数全体を動くとき,問2で求めた S の最大値と最小値を求めよ.

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商・経済・医(看護)・

生活科学部

50点

易□ 並□ 難□

【3】 三角形 ABC の頂点 A B C は反時計回りに並んでいるものとする.点 P はいずれかの頂点の位置にあり, 1 枚の硬貨を 1 回投げるごとに,表が出れば時計回りに隣の頂点へ,裏が出れば反時計回りに隣の頂点へ,移動するものとする.点 P は最初,頂点 A の位置にあったとする.硬貨を n 回投げたとき,点 P が頂点 A の位置に戻る確率を a n で表す.次の問いに答えよ.

問1  n2 に対し a n a n-1 を用いて表せ.

問2  an を求めよ.

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商・経済・医(看護)・

生活科・理・工・医(医)学部共通

理・工・医(医)学部では【2】

50点

易□ 並□ 難□

【4】  xy 平面において, x 軸の x< 0 である部分を C 1 x 軸の x> 1 である部分を C 2 とする.また, 2 ( 0,-1 ) (1 ,-1 ) を結ぶ線分を K とする. y>0 をみたす点 ( x,y ) からは, C1 C 2 が障害となり, C1 C 2 の間を通してしか, K は見えないものとする.点 ( s,1 ) から見える K の部分の長さを f (s ) ( 2,t ) t>0 から見える K の部分の長さを g (t ) とおく.ただし, K がまったく見えないとき,または, K 1 点のみが見えるとき, f( s) g (t ) の値は 0 とする.次の問いに答えよ.

問1  f( s) を求めよ.また, s が実数全体を動くとき,関数 f (s ) のグラフを描け.

問2  g( t) を求めよ.また, t が正の実数全体を動くとき,関数 g (t ) のグラフを描け.

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理・工・医(医)学部

50点

易□ 並□ 難□

【1】  t を正の定数とする.次の問いに答えよ.

問1 正の実数 x に対して定義された関数 g (x) =ex x- t について, g( x) の最小値を t を用いて表せ.

問2 すべての正の実数 x に対して e x>x t が成り立つための必要十分条件は, t<e であることを示せ.

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理・工・医(医)学部

50点

易□ 並□ 難□

【3】  0x 2π の範囲で二つの曲線 y= sinx y= kcos x を考える.ただし, k>0 とする.この二つの曲線の交点の x 座標を α β 0α< β2 π とし, αx β の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積を S とする.次の問いに答えよ.

問1  k β α を用いて表せ.

問2  S k を用いて表せ.

問3  S=4 のとき, αx θ の範囲でこの二つの曲線に囲まれた図形の面積が 2 となるような θ の値を求めよ.

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理・工・医(医)学部

50点

易□ 並□ 難□

【4】  | a2-2 b2 | =1 をみたす整数 a b によって, (a 2b b a ) と表される 2 次の正方行列全体の集合を U とする.このとき, U に属する行列 A =( a2 b ba ) に対して, f( A)= a+2 b とおく.次の問いに答えよ.

問1 二つの行列 A B U に属するならば,積 A B U に属することを示し,さらに f (A B) =f( A) f( B) が成り立つことを示せ.

問2  U に属する行列 A= ( a2b b a ) について, f (A) 1 ならば, -1a -2 b1 が成り立つことを示せ.

問3  U に属する行列 A について, 1f (A) <1+2 ならば, A=( 1 0 01 ) であることを示せ.

問4  U に属する行列 A について, 1+2 f( A)< (1 +2 )2 ならば, A=( 1 21 1 ) であることを示せ.

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