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2012-11556-0201
2012 大阪市立大学 後期
理学部(数),工学部
理学部は100点,工学部は40点
易□ 並□ 難□
【1】 座標空間において,点 ( 2,2, 0) を通り x y 平面に直交する直線を l とし, xy 平面上の円 x2+ y2= 18 を C とする.定点 A ( 1,1, 1) と円 C 上の点 P ( x,y, 0) に対し,直線 l 上の点 Q を AP → と AQ → が直交するようにとる. t=x+ y とおくとき,次の問いに答えよ.
問1 点 Q の座標を, t を用いて表せ.
問2 2 点 P ,Q 間の距離 PQ を, t を用いて表せ.
問3 点 P が円 C 上を動くとき, t のとり得る値の範囲と,距離 PQ の最大値と最小値を求めよ.
2012-11556-0202
理(数),工学部
【2】 数列 { an } を漸化式
a1 =0 ,a 2= 1 5 ,a n+2 =5⁢ an+ 1-6 ⁢an ( n=1 ,2 , 3 ,⋯ )
によって定める.次の問いに答えよ.
問1 bn =an -1 ( n= 2 ,3 , 4 ,⋯ ) とおくとき,等式
( an bn ) =( 5 -6 10 )n -2⁢ ( 15 0 ) ( n= 3 ,4 , 5 ,⋯ )
が成り立つことを示せ.
問2 ( 5- 61 0 )⁢ (s t )=k ⁢( s t ) を満たす, s=0 , t=0 以外の数 s , t が存在するような定数 k を 2 つ求めよ.
問3 A=( 5 -6 1 0 ) とおく.問2で求めた k を k1 ,k 2 ( k1< k2 ) とし, P=( k 1k 2 11 ) とおく.このとき, P- 1⁢A ⁢P を求めよ.
問4 一般項 a n を求めよ.
2012-11556-0203
【3】 n を自然数とする.袋の中に 5 個の赤玉と n 個の白玉が入っている.次の問いに答えよ.
問1 袋から玉を 1 個とり出す試行を n 回続けて行う.ただし,とり出した玉は袋に戻さないものとする.とり出した玉がすべて白玉である確率 p n を, n を用いて表せ.
問2 袋から玉を 2 個同時にとり出し,色を調べてからもとに戻す試行を n 回続けて行う. n 回の試行すべてにおいて 2 個の白玉をとり出す確率 q n を, n を用いて表せ.
問3 問2の q n に対して,極限値 limn→ ∞q n を求めよ.ただし, limx →0 ( 1+x) 1x =e は用いてよい.
2012-11556-0204
【4】 t を実数とする. xy 平面上で,放物線 y =-x2 +1- t2 と直線 y =2⁢ 3⁢x が共有点をもつとする.連立不等式
{ y≧2 ⁢3⁢ xy ≦-x2 +1- t2
の表す領域の面積を S ⁡(t ) とする.ただし, 1 点の面積は 0 とする.次の問いに答えよ.
問1 t のとり得る値の範囲は - 2≦t≦ 2 であることを示せ.
問2 S⁡( t) を, t を用いて表せ.
問3 定積分 ∫-2 2S ⁡(t )⁢d t を求めよ.
2012-11556-0205
理(数・物),工学部
【5】 e は自然対数の底とする.次の問いに答えよ.
問1 関数 f ⁡(x )=log ⁡ e xx2 ⁢e 1x ( x>0 ) は,区間 x >0 で単調に増加することを示せ.ただし,対数は自然対数とする.
また,区間 0 <x<1 で不等式 ex< x2⁢ e1x が成り立つことを示せ.
問2 関数 g ⁡(x )=e -x +e- 1x ( x>0 ) の増減を調べ, g⁡( x) の最小値を求めよ.