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2012 大阪市立大学 後期

理学部(数),工学部

理学部は100点,工学部は40点

易□ 並□ 難□

【1】 座標空間において,点 ( 2,2, 0) を通り x y 平面に直交する直線を l とし, xy 平面上の円 x2+ y2= 18 C とする.定点 A ( 1,1, 1) と円 C 上の点 P ( x,y, 0) に対し,直線 l 上の点 Q AP AQ が直交するようにとる. t=x+ y とおくとき,次の問いに答えよ.

問1 点 Q の座標を, t を用いて表せ.

問2  2 P Q 間の距離 PQ を, t を用いて表せ.

問3 点 P が円 C 上を動くとき, t のとり得る値の範囲と,距離 PQ の最大値と最小値を求めよ.

2012 大阪市立大学 後期

理(数),工学部

理学部は100点,工学部は40点

易□ 並□ 難□

【2】 数列 { an } を漸化式

a1 =0 a 2= 1 5 a n+2 =5 an+ 1-6 an n=1 2 3

によって定める.次の問いに答えよ.

問1  bn =an -1 n= 2 3 4 とおくとき,等式

( an bn ) =( 5 -6 10 )n -2 ( 15 0 ) n= 3 4 5

が成り立つことを示せ.

問2  ( 5- 61 0 ) (s t )=k ( s t ) を満たす, s=0 t=0 以外の数 s t が存在するような定数 k 2 つ求めよ.

問3  A=( 5 -6 1 0 ) とおく.問2で求めた k k1 k 2 k1< k2 とし, P=( k 1k 2 11 ) とおく.このとき, P- 1A P を求めよ.

問4 一般項 a n を求めよ.

2012 大阪市立大学 後期

理(数),工学部

理学部は100点,工学部は40点

易□ 並□ 難□

【3】  n を自然数とする.袋の中に 5 個の赤玉と n 個の白玉が入っている.次の問いに答えよ.

問1 袋から玉を 1 個とり出す試行を n 回続けて行う.ただし,とり出した玉は袋に戻さないものとする.とり出した玉がすべて白玉である確率 p n を, n を用いて表せ.

問2 袋から玉を 2 個同時にとり出し,色を調べてからもとに戻す試行を n 回続けて行う. n 回の試行すべてにおいて 2 個の白玉をとり出す確率 q n を, n を用いて表せ.

問3 問2の q n に対して,極限値 limn q n を求めよ.ただし, limx 0 ( 1+x) 1x =e は用いてよい.

2012 大阪市立大学 後期

理(数),工学部

理学部は100点,工学部は40点

易□ 並□ 難□

【4】  t を実数とする. xy 平面上で,放物線 y =-x2 +1- t2 と直線 y =2 3x が共有点をもつとする.連立不等式

{ y2 3 xy -x2 +1- t2

の表す領域の面積を S (t ) とする.ただし, 1 点の面積は 0 とする.次の問いに答えよ.

問1  t のとり得る値の範囲は - 2t 2 であることを示せ.

問2  S( t) を, t を用いて表せ.

問3 定積分 -2 2S (t )d t を求めよ.

2012 大阪市立大学 後期

理(数・物),工学部

理学部は100点,工学部は40点

易□ 並□ 難□

【5】  e は自然対数の底とする.次の問いに答えよ.

問1 関数 f (x )=log e xx2 e 1x x>0 は,区間 x >0 で単調に増加することを示せ.ただし,対数は自然対数とする.

 また,区間 0 <x<1 で不等式 ex< x2 e1x が成り立つことを示せ.

問2 関数 g (x )=e -x +e- 1x x>0 の増減を調べ, g( x) の最小値を求めよ.

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